Integración en el plano complejo.
Definición (Camino, camino opuesto y caminos equivalentes): Un camino es una aplicación
de clase a trozos. Si además entonces tenemos un camino cerrado.
Se llama camino opuesto de a la aplicación
o, de manera equivalente, para mantener el mismo dominio
.
Dados dos caminos y son equivalentes si existe biyectiva de clase a trozos creciente de manera que $\beta = \alpha \circ \varphi$.
Definición (Integración a lo largo de un camino): Sea una función continua y sea un camino tal que . Entonces:
Propiedades: Dada es sencillo demostrar
- .
- Si y son equivalentes en entonces .
- .
- Si entonces .
- donde y es la longitud de la curva .
- Teorema fundamental de cálculo: , siendo una primitiva de . En particular, si es cerrado y entonces .
Teorema de Cauchy.
Teorema (de Cauchy)
Corolario (Existencia de primitiva de una función analítica)
Teorema (de Morera)
Fórmula de Cauchy.
Fórmula integral de Cauchy: Sea un abierto, sea y . Entonces
siempre que
Fórmula integral de Cauchy para derivadas: Sea , . Entonces
.
Teorema (de Liouville):
Teorema (fundamental del álgebra):
Teorema (de Weierstrass):
Definición (Indice de un punto respecto de un camino): Sea un camino y sea . Entonces se define el índice de respecto de al número:
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