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Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (III): símbolos de Christoffel y conexión de Levi-Civita.

marzo 28, 2013 in Geometría, Matemáticas | Tags: conexión Levi-Civita, curvatura constante, curvatura intrínseca, derivada covariante, espacio Euclídeo, espacio hiperbólico, hipersuperficie esférica, superfícies, transporte paralelo | Deja un comentario

Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

$\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{rk} \{ \frac{\partial}{\partial x^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} - \frac{\partial}{\partial x^r}g_{ij} \}$ .

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

$f: S^2(\frac{1}{a^2}) \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta,\varphi) \mapsto a(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, \sin \theta)$

y la métrica inducida medainte el pullback era:

$f^*h: a^2 d\theta^2 + a^2 \sin^2 \theta d\varphi^2$

Tenemos que calcular:

$\Gamma^{\theta}_{\theta \theta}, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi}$

Calculamos, por ejemplo, $\Gamma^{1}_{22} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}$ :

$\Gamma_{\varphi \varphi}^\theta = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \theta}g_{\varphi \varphi} \} g^{\theta \theta} + \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} \} g^{\varphi \theta}$ ,

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

$\Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial \theta} g_{\varphi \varphi}) g^{\theta \theta} = -\frac{1}{2 a^2} a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta = - \sin \theta \cos \theta$ .

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre $g$ de dimensión $2 \times 2$ con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

$g=\{\{a{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}$

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

$\text{Simbolos}[]$

y obtenemos:

$\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }0$

$\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0$

$\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0$

$\Gamma^{1}_{22} = \text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Cos}[\text{u1}] \text{Sin}[\text{u1}]$

$\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0$

$\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]$

$\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0$

De la misma manera, para la pseudoesfera $\mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2})$ tenemos:

$g=\{\{a{}^{\wedge}2*\text{Cot}[\text{u1}]{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}$

que nos da, al ejecutar $\text{Simbolos}[]$ ,

$\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }-\text{Csc}[\text{u1}] \text{Sec}[\text{u1}]$

$\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0$

$\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0$

$\text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Sin}[\text{u1}]^2 \text{Tan}[\text{u1}]$

$\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0$

$\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]$

$\text{Gamma[}2,2,1\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]$

$\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0$ .

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para $\mathbb{R}^2$ obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son $0$ , de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo $T^a_b$ , queda:

$\nabla_c T^a_b = \partial_c T^a_b + \Gamma^a_{dc} T^d_b - \Gamma^d_bc T^a_d$ ,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (II): longitud de una curva sobre la variedad y geodésicas.

marzo 23, 2013 in Geometría, Matemáticas | Tags: curvatura constante, curvatura intrínseca, espacio Euclídeo, espacio hiperbólico, geodésicas, hipersuperficie esférica, longitud curva variedad, superfícies, transporte paralelo | 3 comentarios

Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $(S^2(1/a^2),g)$ con

$g = \left( \begin{array}{cc} a^2 & 0 \\ 0 & a^2 \sin^2 \theta \end{array} \right)$

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva $\gamma:I \longrightarrow M$ diferenciable, $\forall a,b \in I$ , $a < b$ , se define la longitud del segmento de curva $\alpha$ , desde $a$ hasta $b$ , como:

$L [\gamma]_a^b=\int_a^b || \gamma'||dt$ con $||\gamma'|| = \sqrt{g(\gamma',\gamma')}$ ,

es decir:

$L [\gamma]_a^b=\int_a^b \sqrt{g_{ij} \gamma'^i \gamma'^j} dt$

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, $\varphi=0$ ,parametrizado sobre la esfera como $\gamma(\theta,0)=a(\sin \theta, 0, \cos \theta)$ con $\theta \in ]0,\pi[$ . Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es $\gamma(\theta)=(\theta,0)$ con $\theta \in ]0,\pi[$ . Calculamos $\dot{\gamma}(t) = (1,0)$ , de manera que $\dot{\gamma}^1(t) = 1$ y $\dot{\gamma}^2(t)=0$ . Entonces:

$L[\gamma]_0^{\pi} = \int_0^{\pi} \sqrt{\sum_{i=0}^1 \sum_{j=0}^1 g_{ij} \dot{\gamma}^i(t) \dot{\gamma}^j(t)} dt = \int_0^{\pi} \sqrt{ a^2 } dt = a \int_0^{\pi} dt = a \pi$

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera $\mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2})$ , pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en $0$ y cambio discontínuo de la normal a la superfície en $\theta = \frac{\pi}{2}$ ) de su meridiano $0$ sabiendo su parametrización en coordenadas $(\theta, \phi)$ sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

$\gamma(\theta,\varphi) = (\theta, 0)$ con $\theta \in ]b,c[$

$g = \left( \begin{array}{cc} a^2 \cot^2 \theta & 0 \\ 0 & a^2 \sin^2 \theta \end{array} \right)$

de manera que, procediendo como antes:

$L[\gamma]_b^c = a \int_b^{c} \sqrt{cot^2 \theta} d\theta = a \sqrt{cot^2 \theta} \tan \theta \ln[\sin \theta]|_{b}^{c}$ .

Por ejemplo, para $a=1$ , $b = \frac{\pi}{4}$ y $c = \frac{\pi}{2}$ nos queda $L[\gamma]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\ln{2}}{2}$ y para $L[\gamma]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} = -\ln{\sin \frac{\pi}{8}}$ .

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita $\nabla$ , que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales $X, Y$ , como $T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]$ , lo que tenemos es que $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]$ ) que preserva la métrica ( $\nabla_g = 0$ ) para calcular las geodésicas?

Pues no. En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

Llamamos geodésica a toda curva $x(t)$ tal que $\nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)} = 0$ .
En coordenadas, $\nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i \Gamma_{ij}^k) e_k$ .
En una carta local $(U,x^i)$ , le ecuación $\nabla_{\dot{x(t)}} \dot{x(t)}$ se escribe $\frac{d^2 x^i}{dt^2}+\Gamma_{jk}^i \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0$ donde $\Gamma_{jk}^i$ son los símbolos de Christoffel relativos a la base $\partial_{x^i}$ .
«muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler», como es mi caso :-), «tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante $\nabla$ asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad».
Tendremos la métrica $g$ que depende de $x^1,\ldots,x^n$ . Escribimos, formalmente, la función de $2n$ variables $x^i, \dot{x}^i$ que volvemos a denotar $g$ abusando de la notación. Entonces, con la convención $\frac{d}{dt}x^i = \dot{x}^i$ y $\frac{d}{dt}\dot{x}^i = \ddot{x}^i$ , las ecuaciones de las geodésicas son: $\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{x}^i} g = \frac{\partial}{\partial x ^i} g$ .

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera $S^2(\frac{1}{a^2})$ . Como:

$g = a^2 d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi$ ,

entonces:

$g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2$ ,

de manera que:

$\partial_\theta g = a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta \dot{\varphi}^2$

$\partial_\varphi g = 0$

$\partial_{\dot{\theta}} g = a^2 \, 2 \dot{\theta}$ y entoces $\frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = a^2 2 \ddot{\theta}$

$\partial_{\dot{\varphi}} g = a^2 \sin^2 \theta 2 \dot{\varphi}$ y entonces $\frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \sin \theta (\cos \theta \dot{\theta} \dot{\varphi} + \sin \theta \ddot{\varphi})$ .

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

$\begin{cases}\ddot{\theta} - \dot{\varphi}^2 \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \sin \theta (2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta + \ddot{\varphi} \sin \theta) = 0 \end{cases}$

En el caso de la pseudoesfera $\mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2})$ tenemos:

$g = a^2 \cot^2 \theta d\theta \otimes d\theta + a^2 \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi$ ,

entonces:

$g(\theta,\varphi,\dot{\theta},\dot{\varphi}) = a^2 \cot^2 \theta \dot{\theta}^2+ a^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2$ ,

de manera que:

$\partial_\theta g = 2 a^2 (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta )$

$\partial_\varphi g = 0$

$\partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \dot{\theta} \cot^2 \theta$ y entoces $\frac{d}{dt} \partial_{\dot{\theta}} g = 2 a^2 \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta )$

$\partial_{\dot{\varphi}} g = 2 a^2 \dot{\varphi} \sin^2 \theta$ y entonces $\frac{d}{dt} \partial_{\dot{\varphi}} g =2 a^2 \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta )$ .

Así pues, las geodésicas cumplen:

$\begin{cases} \cot \theta (\ddot{\theta} \cot \theta - 2 \dot{\theta}^2 \csc^2 \theta) - (-\dot{\theta}^2 \cot \theta \csc^2 \theta + \dot{\varphi}^2 \cos \theta \sin \theta ) = 0 \\ \sin \theta (\ddot{\varphi} \sin \theta + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cos \theta ) = 0 \end{cases}$

Para terminar, procediento de la misma manera para $\mathbb{R}^2$ obtenemos que las geodésicas satisfacen:

$\begin{cases} \ddot{\theta} = 0 \\ \ddot{\varphi} = 0 \end{cases}$

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (I): primera y segunda forma fundamental, normal y curvatura intrínseca.

marzo 22, 2013 in Geometría, Matemáticas | Tags: curvatura constante, curvatura intrínseca, espacio Euclídeo, espacio hiperbólico, hipersuperficie esférica, superfícies | 4 comentarios

Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann $M$ conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante $k$ es isométrica a:

el Espacio Hiperbólico: $\mathbb{H}^n(k)$ si $k<0$ ,
el Espacio Euclídeo: $\mathbb{R}^n$ si $k=0$ ,
la Hipersuperfície Esférica: $S^n(k)$ si $k>0$ .

En particular, cuando la dimensión sea $n=2$ , tenemos las superfícies $\mathbb{H}^2(k)$ , trabajaremos con la pseudoesfera, el plano $\mathbb{R}^2$ y la esfera $S^2(k)$ .

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental $I \equiv ds^2$ , la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente $\mathbb{R}^3$ en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización $f$ es un embedding y si $h$ es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica $f^*h$ en la variedad):

$S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ ,

$I(u,v) = E(u,v) du \otimes du + F(u,v) du \otimes dv +$

$+ F(u,v) dv \otimes du + G(u,v) dv \otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2$

donde

$g_{00}=\frac{\partial}{\partial u}S(u,v) \cdot \frac{\partial}{\partial u}S(u,v) = \partial_u S \cdot \partial_u S$

$g_{01}=g_{10} = \partial_u S \cdot \partial_v S$

$g_{11} = \partial_v S \cdot \partial_v S$ .

Si en lugar de $u$ y $v$ trabajamos con $u_1$ y $u_2$ entonces podemos escribir

$ds^2 = \sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j$ ,

donde al final aplicamos el $C \sum E$ con $i=1,2$ y $j=1,2$ .

También son sencillas de calcular el vector normal $\boldsymbol{n}$ , la segunda forma fundamental $II$ y la curvatura de Gauss o intrínseca $k$ :

$\boldsymbol{n} = \frac{\partial_u S \times \partial_v S}{|| \partial_u S \times \partial_v S||}$ ,

$II(u,v) = L(u,v) du \otimes du + M(u,v) du \otimes dv +$

$+ M(u,v) dv \otimes du + N(u,v) dv \otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$\amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2$ o $\amalg = b_{ij}du^i du^j$

donde

$b_{00}=\partial_{uu} \cdot \boldsymbol{n}$

$b_{01}=b_{10} = \partial_{uv} S \cdot \boldsymbol{n}$

$b_{11} = \partial_{vv} S \cdot \boldsymbol{n}$ ,

$k = \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = \frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}$

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano $\mathbb{R}^2$

Utilizamos la parametrización $S(u,v)=(u,v,0)$ con $u \in \mathbb{R}$ y $v \in \mathbb{R}$ (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

$g_{00} = \partial_u S \cdot \partial_u S = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1$

$g_{01} = g_{10} = 0$ , $g_{11}=1$

$\boldsymbol{n} = (0,0,1)$

$\partial_{uu} S = \partial_{uv} S = \partial_{vv} S = 0$ y, por tanto, $b_{ij}=0$

$k = \frac{0.0 - 0^2}{1.1 - 0^2} = 0$ .

Esfera $S^2(k)$

Parametrizamos según indica la figura:

$g_{00} = a^2$ , $g_{01} = g_{10} = 0$ , $g_{11}=a^2 \sin^2 \theta$

$\boldsymbol{n} = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta)$

$b_{00} = -a$ , $b_{01} = b_{10} = 0$ , $b_{11}=-a \sin^2 \theta$

y, por tanto, $k = \frac{-a.-a \sin^2 \theta - 0^2}{a^2.a^2 \sin^2 \theta - 0^2} = \frac{1}{a^2}$ .

Pseudoesfera $\mathbb{H}^2(k)$

$g_{00} = a^2 \cot^2 \theta$ , $g_{01} = g_{10} = 0$ , $g_{11}=a^2 \sin^2 \theta$

$\boldsymbol{n} = (-|\cos \theta| \cos \varphi, - |\cos \theta| \sin \varphi, sgn(\cos \theta) \sin \theta)$

$k = -\frac{1}{a^2}$ .

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de $\mathbb{R}^2$ para que nos de $g_{11} = \theta^2$ ?

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

L	M	X	J	V	S	D
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
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