Las ecuaciones de Euler gobiernan la dinámica de los fluidos compresibles, como gases o líquidos a alta presión, cuando consideramos despreciables las fuerzas de cuerpo, las tensiones viscosas y los flujos de calor. Forman un sistema de PDE no lineal hiperbólico.

En el caso clásico, deducidas por Leonhard Euler, las leyes de conservación son las siguientes:

  1. Conservación de la masa: \rho_t + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0
  2. Conservación del momento: (\rho \vec{v})_t + \nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v} + pI) = 0
  3. Conservación de la energia: E_t + \nabla \cdot [(E + p)] \vec{v} = 0

donde \rho(x,y,z,t) es la densidad de masa, \vec{v}= (v^1,v^2,v^3) es el vector velocidad con v^i(x,y,z,t), p(x,y,z,t) es la presión,

De hecho, podemos escribir el sistema de forma compacta:

U_t + \nabla \cdot H = 0

con el vector columna U = \left[ \begin{array}{c} \rho \\ \rho v^1 \\ \rho v^2 \\ \rho v^3 \\ E \end{array} \right] y el tensor H = \begin{bmatrix} \rho v^1 & \rho (v^1)^2 + p & \rho v^2 v^1 & \rho v^3 v^1 & v^1 (E + p) \\ \rho v^2 & \rho v^1 v^2 & \rho (v^2)^2 + p & \rho v^3 v^2 & v^2 (E + p) \\ \rho v^3 & \rho v^1 v^3 & \rho v^2 v^3 & \rho (v^3)^2 + p & v^3 (E + p) \end{bmatrix}

La derivación de estas leyes de conservación esta basada en la relación entre las integrales en volumenes de control y sus fronteras y utilizando el teorema de Gauss. En la forma integral de las ecuaciones no necesitamos la hipótesis de diferenciabilidad. Para la conservación de la masa asumimos que en un volumen V la masa ni se crea ni se destruye, por lo que la variación de fluido en su interior esta relacionada con la cantidad del mismo que atraviesa su frontera \partial V

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