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Según Monaghan en [Monaghan, 1992], uno de los padres del método, buscaban un método con el que fuera fácil trabajar y diera buenos resultados y encontraron eso y mucho mas.

Además de no  necesitar malla para calcular las derivadas, puesto que se calculan de manera analítica a partir de una fórmula de interpolación, las ecuaciones de conservación del momento y la energía pasan a ser un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias fáciles de entender.

En esencia, el método SPH es un método de interpolación que permite expresar una función a partir de los valores en un conjunto desordenado de puntos a los que llamamos particulas.

La idea es que aproximamos cualquier función A(r) de la siguiente manera:

A_I(r) = \int A(r') W(r-r',h) dr'

donde r es el vector posición, W es una función de pesos o kernel (con las propiedades ya comentadas en otros posts) y h es la longitud de suavizado. Este tipo de aproximaciones reciben el nombre de interpolación integral.

Para trabajar de manera numérica, la interpolador integral se aproxima por:

A_S(r) = \sum_b m_b \frac{A_b}{\rho_b} W(r-r_b,h)

donde el índice del sumatorio b identifica a cada partícula y el sumatorio es sobre todas las partículas. La partícula b tiene masa m_b, posición r_b, densidad \rho_b y velocidad v_b. El valor de la función A en r_b es A_b.

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En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.

A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde  describimos el fluido desde un punto fijo del espacio, el Smoothed Particle Hydrodynamics es totalmente Lagrangiano, por lo que describimos el fluido desde un sistema de coordenadas fijado en una particula del fluido en movimiento.

La derivada Lagrangiana o sustancial respecto del tiempo, \frac{d}{dt}, se relaciona con la derivada Euleriana respecto al tiempo, \frac{\partial}{\partial t} de la siguiente manera:

\frac{d}{dt} = \frac{dx^i}{dt} \frac{\partial}{\partial x^i} + \frac{\partial}{\partial t} = \vec{v} \cdot \nabla + \frac{\partial}{\partial t}

Aplicando esta relación a las ecuaciones en forma Euleriana, las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana quedan:

  1. Ecuación de continuidad: \frac{d}{dt} \rho = - \rho \nabla \cdot \vec{v}
  2. Ecuacion del momento: \frac{d}{dt} \vec{v} = -\frac{\nabla P}{\rho} + \vec{f}
  3. Ecuación de la energía: \frac{d}{dt}u = \frac{P}{\rho^2} \frac{d}{dt} \rho = - \frac{P}{\rho} \nabla \cdot \vec{v}
  4. Ecuación de estado, que describe la termodinámica del fluido estelar: P = (\gamma -1) \cdot \rho \cdot \epsilon (ecuación del gas ideal)
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