En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.

A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde  describimos el fluido desde un punto fijo del espacio, el Smoothed Particle Hydrodynamics es totalmente Lagrangiano, por lo que describimos el fluido desde un sistema de coordenadas fijado en una particula del fluido en movimiento.

La derivada Lagrangiana o sustancial respecto del tiempo, \frac{d}{dt}, se relaciona con la derivada Euleriana respecto al tiempo, \frac{\partial}{\partial t} de la siguiente manera:

\frac{d}{dt} = \frac{dx^i}{dt} \frac{\partial}{\partial x^i} + \frac{\partial}{\partial t} = \vec{v} \cdot \nabla + \frac{\partial}{\partial t}

Aplicando esta relación a las ecuaciones en forma Euleriana, las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana quedan:

  1. Ecuación de continuidad: \frac{d}{dt} \rho = - \rho \nabla \cdot \vec{v}
  2. Ecuacion del momento: \frac{d}{dt} \vec{v} = -\frac{\nabla P}{\rho} + \vec{f}
  3. Ecuación de la energía: \frac{d}{dt}u = \frac{P}{\rho^2} \frac{d}{dt} \rho = - \frac{P}{\rho} \nabla \cdot \vec{v}
  4. Ecuación de estado, que describe la termodinámica del fluido estelar: P = (\gamma -1) \cdot \rho \cdot \epsilon (ecuación del gas ideal)
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