Según Monaghan en [Monaghan, 1992], uno de los padres del método, buscaban un método con el que fuera fácil trabajar y diera buenos resultados y encontraron eso y mucho mas.

Además de no  necesitar malla para calcular las derivadas, puesto que se calculan de manera analítica a partir de una fórmula de interpolación, las ecuaciones de conservación del momento y la energía pasan a ser un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias fáciles de entender.

En esencia, el método SPH es un método de interpolación que permite expresar una función a partir de los valores en un conjunto desordenado de puntos a los que llamamos particulas.

La idea es que aproximamos cualquier función A(r) de la siguiente manera:

A_I(r) = \int A(r') W(r-r',h) dr'

donde r es el vector posición, W es una función de pesos o kernel (con las propiedades ya comentadas en otros posts) y h es la longitud de suavizado. Este tipo de aproximaciones reciben el nombre de interpolación integral.

Para trabajar de manera numérica, la interpolador integral se aproxima por:

A_S(r) = \sum_b m_b \frac{A_b}{\rho_b} W(r-r_b,h)

donde el índice del sumatorio b identifica a cada partícula y el sumatorio es sobre todas las partículas. La partícula b tiene masa m_b, posición r_b, densidad \rho_b y velocidad v_b. El valor de la función A en r_b es A_b.

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