En las Jornadas sobre los problemas del milenio celebradas en Barcelona del 1 al 3 de junio de 2011, Diego Córdoba dió una charla sobre el problema Clay de las ecuaciones de Navier-Stokes para la que escribió estas notas.

Un fluido es ideal si es incompresible, homogéneo  y perfecto.

La idea del problema consiste en determinar si:

…un fluido incompresible con energía finita puede desarrollar singularidades en tiempo finitos.

Mas formalmente, si consideramos un fluido viscoso (\nu > 0), homogéneo (\rho = 1) e incompresible (\nabla \cdot u = 0), tenemos:

u_t + u \cdot \nabla u = - \nabla p + \nu \Delta u + f con \nu >0, x \in \mathbb{R}^3, t \geq 0

\nabla \cdot u = 0

u(x,0) = u_0

donde cada partícula en el tiempo t está en la posición x = (x_1,x_2,x_3) del dominio que ocupa el fluido \Omega \subset \mathbb{R}^3, u(x,t) = (u_1(x,t), u_2(x,t), u_3(x,t)) es el campo de velocidades, p = p(x,t) son las presiones en el seno del fluido y \rho = \rho(x,t) es la densidad. Además, \nu = cte \geq 0 es la viscosidad y f la fuerza externa.

La fuerza exterior  debe verificar:

|\partial_x^\alpha\partial_t^m f| \leq C_{\alpha,k,m}(1+|x|+t)^{-k} para todo \alpha, k, m > 0

y el dato inicial las siguientes condiciones de regularidad:

|\partial_x^\alpha u_{0i}| \leq C_{\alpha,k}(1+|x|)^{-k} para todo \alpha, k > 0

Las soluciones (u,p) admisibles para x \in \mathbb{R}^3 estan o en C^{\infty}(\mathbb{R}^3 \times [0,\infty)) con decaimiento en el infinito de la presión y de energía finita, es decir, \int_{\mathbb{R}^3} |u|^2 dx < \infty para todo t, o estan en C^{\infty}(\mathbb{T}^3 \times [0,\infty)) periódicas y la presión de media cero.

Sea u_0 satisfaciendo las condiciones de regularidad. El problema del Instituto Clay consiste, entonces, en determinar si siempre existen soluciones admisibles para u_0 o si existe algún caso en que no.

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