En [Rosswog 2009] tenemos las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana discretizadas y en su forma mas básica. Las partículas avanzaran en el tiempo siguiendo las siguientes ecuaciones:

Para empezar, no hay necesidad de resolver la ecuación de continuidad ya que la masa de las partículas permanece fija. Podemos obtener las densidades mediante:

\rho_a = \sum_b m_b W_{ab}

La ecuación del momento queda:

\frac{d}{dt}\vec{v}_a = - \sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{P_b}{\rho_b^2} + \Pi_{ab} ) \nabla_a W_{ab}

La ecuación de evolución para la energía interna específica puede escribirse como:

\frac{d}{dt} u_a = \sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{1}{2}\Pi_{ab}) \vec{v}_{ab} \nabla_b W_{ab}

Rosswog las llama “vanilla ice” SPH.

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