La siguiente operación en física:

a+b+c = d+e

solamente la podremos realizar si todas las variables están en las mismas unidades. En física solemos medir longitudes (L), masas (M), tiempos (T), temperaturas (K), etc. La idea es disponer de unas unidades de manera que ciertas constantes universales tomen el valor 1 simplificando así algunas ecuaciones físicas.

Dada la ecuación v=\frac{d}{dt}x podemos escribir la correspondiente ecuación de dimensión [v] = \frac{L}{T} = L T^{-1}. De la misma manera, nos quedaria [a] = L T^{-2} para las aceleraciones.

Sabemos que la velocidad de la luz en el vacío c = 3 \times 10^{10} \frac{cm}{s} en el sistema cegesimal (CGS: cm, g, s) y su ecuación dimensional es [c] = LT^{-1}. Si queremos conseguir c=1, ¿qué unidades de longitud y tiempo necesitamos? Suponiendo que la longitud la continuamos midiendo en cm, aunque lo denotamos ahora con uL, vamos a definir una unidad de tiempo uT de manera que c=1:

3 \times 10^{10} \frac{uL}{s} \times \frac{1}{x} \frac{s}{uT} = 1 \frac{uL}{uT} \Leftrightarrow 1 uT = \frac{1}{3 \times 10^{10}} s

Por lo que en uL y uT hemos conseguido que c=1.

Tenemos que la constante de gravitación universal G = 6.67 \times 10^{-8} \frac{cm^3}{g s^2} en el sistema CGS, con [G] = L^3 M^{-1} T^{-2}. Si hacemos:

6.67 \times 10^{-8} \frac{uL^3}{g s^2} \times \frac{1}{(3 \times 10^{10})^2} \frac{s^2}{uT^2} \times \frac{1}{x} \frac{g}{uM}=1 \frac{uL^3}{uM uT^2}

tenemos que x = \frac{2.2}{3} \times 10^{-28} y nos queda que 1 g = \frac{2.2}{3} \times 10^{-28} uM. Así pués, G=1 en estas nuevas unidades.

Si prodecemos de esta manera hasta conseguir que  c = G = k_B = 1, donde k_B es la constante de Boltzmann, obtenemos las unidades geometrizadas. Si lo hacemos para c =k_B=h=1, donde h es la constante de Planck, obtenemos las unidades naturales.

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