El problema de Riemann es un caso especial de problema de valor inicial (IVP) en el que la PDE es:

u_t + a u_x = 0

y la condicion inicial (IC):

u(x,0) = u_0(x) = \begin{cases} u_L\mbox{ si } x < 0 \\ u_R \mbox{ si } x > 0 \end{cases}

donde u_L y u_R son dos valores constantes, de manera que tenemos una discontinuidad en x=0. En este caso, la solución es sencilla:

u(x,t) = u_0(x-at) = \begin{cases} u_L \mbox{ si } x-at < 0\\ u_R \mbox{ si } x-at > 0 \end{cases}.

Podemos extender el problema a un conjunto de m PDEs hiperbólicas:

U_t + AU_x = 0 con -\infty < x < \infty, t>0

donde la matriz A es de coeficientes constantes. Al asumir la hiperbolicidad de A, tenemos m valores propios reales \lambda_i y m vectores propios independientes K^{(i)}. En este caso, la IC se escribe como:

U(x,0) = U^{(0)}(x) = \begin{cases} U_L, x<0\\ U_R, x>0 \end{cases}

Los Riemann solvers son métodos numéricos que permiten resolver el problema de Riemann.

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