En el libro “Geometria Diferencial i Relativitat” de J. Girbau, encontramos que una variedad diferenciable de dimensión n y de clase C^k es un par (M,\mathcal{A}) formado por un conjunto M y una estructura diferenciable \mathcal{A} de dimensión n y clase C^k (de aquí en adelante supondremos dimensión n y clase C^k) y tal que M con la topología asociada es Hausdorff y 2AN.

Si no hay posibilidad de confusión se denota la variedad simplemente por M y es usual utilizar la expresión variedad diferenciable cuando es de clase C^\infty.

Llamamos estructura diferenciable a cada una de las clases de equivalencia por la relación C^k\mbox{-compatibles}: dos atlas A_1 y A_2 de clase C^k son C^k\mbox{-compatibles} si A_1 \cup A_2 también es un atlas de clase C^k. Como dos atlas C^k\mbox{-compatibles} definen la misma topología en M, podemos hablar de topología asociada a una estructura diferenciable.

Un atlas de clase C^k es una familia de aplicaciones biyectivas \mathcal{A}=\{ \varphi_i: U_i \rightarrow A_i\}_{i \in I} llamadas cartas locales, donde I es un conjunto de índices, U_i \subset M abierto y A_i \subset \mathbb{R}^n abierto cumpliendo:

  1. \cup_{i \in I} U_i = M
  2. \forall i,j \in I tal que U_i \cap U_j \neq \emptyset, entonces \varphi_i(U_i \cap U_j) y \varphi_j(U_i \cap U_j) son abiertos y las aplicaciones \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i \cap U_j) \longrightarrow \varphi_j(U_i \cap U_j) son C^k

Si \mathcal{A} es un atlas sobre un conjunto M entonces

\mathcal{B}_{\mathcal{A}} = \{ \varphi_{i}^{-1}(W) : i \in I, W \subset \mathbb{R}^n \mbox{ abierto}\}

es una base de una topología en M.

Una variedad de Riemann es una variedad diferenciable en la que tenemos definida una métrica: un campo tensorial diferenciable g dos veces covariante, un tensor (0,2), simétrico y definido positivo. A g se le llama métrica de Riemann.

Si (M,g) es una variedad de Riemann y x(t) es una curva diferenciable sobre M, entonces la longitud de x(t) entre dos puntos x(a) y x(b) se define como:

\int_a^b \sqrt{g(\dot{x(t)},\dot{x(t)})} dt

Una variedad pseudoriemanniana es aquella en la que la métrica no cumple la propiedad de ser definida positiva y basta con que sea no degenerada.

Una variedad de Lorentz es aquella cuya métrica tiene signatura (n-1, 1). Son especialmente importantes por sus aplicaciones en la física: la teoria de la relatividad general modela el espacio-tiempo mediante una variedad de Lorentz de dimensión n=4 y signatura (3,1).

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