En el libro “Geometria Diferencial i Relativitat” de J. Girbau aparecen algunos ejemplos concretos de variedades diferenciables.

Para empezar, \{ (\mathbb{R}^n, id_{\mathbb{R}^n}) \} es un atlas que dota al espacio euclídeo \mathbb{R}^n de estructura de variedad diferenciable de dimensión n y clase C^\infty.

También podemos considerar la esfera S^n(r) (n-esfera, hiperesfera) de radio r centrada en el origen de \mathbb{R}^{n+1}. Si llamamos N al polo norte, de coordenadas (0,0,\ldots,0,r), y S al polo sur, de coordenadas (0,0,\ldots,0,-r), sean U_1 = S^n(r)-\{N\} y U_2=S^n(r)-\{S\} y sean \varphi_1:U_1 \longrightarrow \mathbb{R}^n la proyección estereográfica desde N sobre el plano x^{n+1}=0 y \varphi_2:U_2 \longrightarrow \mathbb{R}^n la proyección estereográfica desde S sobre el plano del ecuador. Se puede comprobar que \{ (U_1, \varphi_1), (U_2, \varphi_2) \} es un atlas C^\infty de dimensión n que dota a S^{n}(r) de una estructura de variedad diferenciable.

Otro ejemplo concreto de variedad diferenciable es el plano proyectivo real \mathbb{R}P^n. Consideramos en \mathbb{R}^{n+1} - \{ 0 \} la relación de equivalencia:

x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}: x = \lambda y.

De esta manera,

\mathbb{R}P^n := \frac{\mathbb{R}^{n+1} - \{ 0 \}}{\sim}

Es fácil comprobar que \{ (U_i, \varphi_i)\}, i=0,\ldots,n donde

U_i = \{ [ x^0 :\ldots : x^n ], x_i \neq 0 \}, i=0,\ldots,n,

siendo [ x^0: \ldots :x^n ] coordenadas homogéneas, y

\varphi_i: U_i \longrightarrow \mathbb{R}^n \,/\, [x^0:\ldots:x^n] \mapsto (\frac{x^0}{x^i},\ldots,\hat{\frac{x^i}{x^i}},\ldots,\frac{x^n}{x^i})

donde \hat{\frac{x^i}{x^i}} significa que falta la componente i-ésima, dota a \mathbb{R}P^n de una estructura de variedad diferenciable. Este ejemplo es de naturaleza diferente del anterior ya que \mathbb{R}P^n no se presenta dentro de ningún \mathbb{R}^n.

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