En el libro “Foundations of differenciable manifolds and Lie groups” de Warner comenta como construir nuevas variedades diferenciables a partir de variedades conocidas.

Dada una variedad (M,\mathcal{A}) donde

\mathcal{A} = \{ \varphi_i: U_i \longrightarrow \mathbb{R}^n \}_{i \in I}

y si consideramos un abierto N \subset M entonces (N,\mathcal{A}_N) con:

\mathcal{A}_N = \{ \varphi_i|_{U_i \cap N}: U_i \cap N \longrightarrow \mathbb{R}^n \}_{i \in I}

es una variedad diferenciable.

Si (M, \mathcal{A}_1) y (N,\mathcal{A}_2) son dos variedades diferenciables de dimensión p y q respectivamente donde

\mathcal{A}_1 = \{ \varphi_i: U_i \longrightarrow \mathbb{R}^p\}_{i \in I}

y

\mathcal{A}_2 = \{ \psi_j: V_j \longrightarrow \mathbb{R}^q\}_{j \in J}

entonces (M \times N, \mathcal{A}_1 \times \mathcal{A}_2) es una variedad diferenciable de dimensión p+q donde:

\mathcal{A}_1 \times \mathcal{A}_2 = \{ \varphi_i \times \psi_j: U_i \times V_j \longrightarrow \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q\}_{i \in I, j \in J}

Esta propiedad nos permite demostrar que el toro es una variedad diferenciable. Si consideramos las variedades S(r) y S(R) con r<R entonces T(R,r) = S(R) \times S(r).

Finalmente, si (M,\mathcal{A}) es una variedad diferenciable de dimensión n con \mathcal{A} = \{ \varphi_i: U_i \longrightarrow \mathbb{R}^n\}_{i \in I} y sea f: M\longrightarrow N una aplicación biyectiva. Si

\mathcal{A}_f = \{ \varphi_i \circ f^{-1}: f(U_i) \longrightarrow \mathbb{R}^n\}_{i \in I}

entonces (N, \mathcal{A}_f) es una variedad diferenciable de dimensión n.

Esta propiedad nos permite decir que todo espacio vectorial de dimensión finita es una variedad diferenciable. Efectivamente, sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre \mathbb{R} y \{u_1,\ldots,u_n\} una base. Entonces existe un único isomorfismo lineal f: \mathbb{R}^n \longrightarrow V tal que f(e_i) = u_i donde \{ e_1, \ldots, e_n\} es la base canónica de \mathbb{R}^n.  Entonces (V,\mathcal{A_f}) es una variedad diferencial de dimensión n.

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