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En el libro “Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups” de F. Warner, encontramos que un grupo de Lie es una variedad diferenciable G en la que tenemos definida una operación G \times G \longrightarrow G tal que:

\rho: G \times G \longrightarrow G \,/\, (\sigma,\tau) \mapsto \rho(\sigma,\tau) = \sigma \tau^{-1}

es una aplicación diferenciable.

Si fijamos \sigma \in G entonces podemos definir la translación a izquierda por \sigma y la traslación a derecha por \sigma de la siguiente manera:

l_\sigma(\tau) = \sigma \tau

r_\sigma(\tau) = \tau \sigma

para cualquier \tau \in G. En ambos casos tenemos un difeomorfismo. Si H \subset G entonces denotamos r_\sigma(H) por H\sigma y l_\sigma(H) por \sigma H.

El grupo general lineal Gl(n,\mathbb{K}) es el ejemplo mas importante de grupo de Lie. Está formado por los automorfismos de \mathbb{K}^n. Por ser un espacio vectorial, como ya comentamos, es una variedad diferenciable y tiene estructura de grupo con la composición. También puede pensarse como \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).

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