Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis “Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues” de I. Cordero podemos encontrarlas.

Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos lleva a la métrica de Schwarzschild (J=0, Q=0) que podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Schwarzschild (r,\theta,\varphi,\tau) con r > 2M y siendo \tau el tiempo propio:

g = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr \otimes dr + r^2 (d\theta \otimes d\theta + \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi)-(1-\frac{2M}{r})d\tau \otimes d\tau

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} \frac{1}{1-\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

y en física se suele escribir:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)-(1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Además, como d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2 es la métrica de S^2 (S^2(\theta,\varphi) = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) en ]0,\pi[ \times ]0,2\pi[ de manera que g_{11} = S^2_\theta \cdot S^2_\theta = 1, g_{12} = g_{21} = S^2_\theta \cdot S^2_\varphi = 0 y g_{22} = S^2_\varphi \cdot S^2_\varphi = \sin^2 \theta, con lo que g = d\theta \otimes d\theta + sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi), tenemos:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 d\Omega^2 - (1-\frac{2M}{r})d\tau^2

Coordenadas isotrópicas (\bar{r},\theta,\varphi,\tau) con r = \bar{r} (1 + \frac{M}{2\bar{r}})^2 respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = (1+\frac{M}{2\bar{r}})^4(d\bar{r}^2+ \bar{r}^2 d\Omega^2 )- \big (\frac{1-\frac{M}{2\bar{r}}}{1+\frac{M}{2\bar{r}}} \big) d\tau^2

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo propio constante son conformemente planas y singulares en el horizonte.

Coordenadas de Painlevé-Gullstrand-Lemaître (r,\theta,\varphi, T) con dT = d\tau + \frac{\sqrt{\frac{2M}{r}}}{1-\frac{2M}{r}}dr respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2 + 2 \sqrt{\frac{2M}{r}}dTdr - (1-\frac{2M}{r})dT^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \sqrt{\frac{2M}{r}} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \sqrt{\frac{2M}{r}} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Coordenadas de Eddington-Finkelstein (t, r, \theta, \varphi) con t = \tau + 2M \ln |\frac{r}{2M} - 1| respecto de las de Schwarzschild:

ds^2 = \frac{1}{1+\frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 d\Omega^2 + \frac{4M}{r} dtdr - (1-\frac{2M}{r})dt^2

que en forma matricial queda:

g=\begin{bmatrix} 1+\frac{2M}{r} & 0 & 0 & \frac{2M}{r} \\ 0 & r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta & 0 \\ \frac{2M}{r} & 0 & 0 & -(1-\frac{2M}{r}) \end{bmatrix}

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo constante son planas y regulares en el horizonte.

En el llibre “Geometria diferencial i relativitat” de J. Girbau tambe comenta les coordenadas de Kruskal-Szekeres (u,v,\theta,\varphi):

ds^2 = \frac{32M^3}{r} e^{-\frac{r}{2M}} (du^2 - dv^2) + r^2 d\Omega^2

donde

u=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \cosh \frac{\tau}{4M}

y

v=\sqrt{\frac{r}{2M}-1} e^{\frac{r}{4M}} \sinh \frac{\tau}{4M}

No hay singularidad física en r=2M, pero hay dos en r=0.

En segundo lugar, tenemos la métrica de Kerr (J \neq 0, Q = 0) que también podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Boyer-Lindquist (r,\theta,\varphi,t):

ds^2 = \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \tilde{w}^2(d\varphi - wdt)^2 - (\frac{\rho \sqrt{\Delta}}{\Sigma})^2dt^2

donde

\Delta = r^2 -2Mr + a^2

\rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2 \theta

\Sigma^2 = (r^2 + a^2)^2 - a^2 \Delta \sin^2 \theta

w = \frac{2aMr}{\Sigma^2}

\tilde{w} = \frac{\Sigma \sin \theta}{\rho}

y siendo a el momento angular del BH. Fijando a=0 obtenemos el BH de Schwarzchild en coordenadas de Schwarzchild.

Coordenadas de Kerr-Schild (r,\theta,\bar{\varphi},\bar{t}):

ds^2 = \frac{Z^{2k}-1}{Z-1} dr^2 + \rho^2 d\theta^2+ \sin^2 \theta \rho^2 [1+Y(1+Z)] d\bar{\varphi}^2 - (1-Z) d\bar{t}^2+

+2a\epsilon \sin^2 \theta \frac{Z^{k+1}-1}{Z-1}drd\bar{\varphi} -2 \epsilon Z^k dr d\bar{t} -2 a \sin^2 \theta Z d\bar{\varphi}d\bar{t}

donde

Y = \frac{a^2 \sin^2 \theta}{\rho^2}, Z = \frac{2Mr}{\rho^2}

y \epsilon = +1(-1) regulariza el horizonte futuro (pasado) del BH. La relación con las anteriores coordenadas viene dada por

d\bar{\varphi} = d\varphi - \epsilon \frac{a}{\Delta} dr

d\bar{t} = dt - \epsilon [ \frac{1+Y}{1+Y-Z} - \frac{1-Z^k}{1-Z} ] dr

donde \Delta es la función horizonte, que es cero en el horizonte y hace que la componente g_{tt} de la métrica se anule.

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