Dada una variedad diferenciable M, una curva diferenciable en M es una aplicación diferenciable \alpha:]a,b[ \longrightarrow M donde a,b \in \mathbb{R} y a<b.

Dado un punto m:

  1. denotaremos por \mathcal{C}(M,m) al conjunto de curvas diferenciables \alpha:]a,b[ \longrightarrow M tales que a<0<b y \alpha(0) = m.
  2. denotamos por \mathcal{F}(M,m) al conjunto de funciones diferenciables f:U \longrightarrow \mathbb{R} tales que U es un entorno abierto de m en M.

Definimos en \mathcal{C}(M,m) la relación de equivalencia \sim de la siguiente manera:

\alpha \sim \beta \Leftrightarrow (f \circ \alpha)'(0) = (f \circ \beta)'(0),\,\forall \alpha,\beta \in \mathcal{C}(M,m),\,\forall f \in \mathcal{F}(M,m)

Llamamos espacio tangente a M en m a

T_mM := \frac{\mathcal{C}(M,m)}{\sim}

A los elementos de T_mM se les llama vectores tangentes a M en m, y son clases de equivalencia de curvas diferenciables respecto de la relación anterior.

Denotamos por p:\mathcal{C}(M,m) \longrightarrow T_mM a la aplicación que a cada curva \alpha le asocia su clase de equivalencia. Además, v(f) :=(f \circ \alpha)'(0) donde f \in \mathcal{F}(M,m) y v = p(\alpha) con \alpha \in \mathcal{C}(M,m).

Si la dimensión de la variedad es n y (U,\varphi) es una carta cualquiera con m \in U, entonces:

  1. denotamos por \{ e_i\}_{i=1}^{n} a la base canónica de \mathbb{R}^n.
  2. definimos las curvas coordenadas \tau_i \in \mathcal{C}(M,m) como \tau_i(t) := \varphi^{-1}(\varphi(m)+te_i).
  3. definimos los vectores tangentes coordenados respecto de la carta (U,\varphi) como \frac{\partial}{\partial \varphi^i}|_m = p(\tau_i) \in T_mM.

Los vectores

\{ \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_m, \cdots, \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_m \}

forman una base de T_mM, por lo que para todo v \in T_mM tenemos que:

v = \sum_{i=1}^n v(\varphi^i) \frac{\partial}{\partial \varphi^i}|_m

y \dim T_mM = \dim M = n.

Llamamos espacio cotangente a M en m al espacio vectorial dual de T_mM y que denotamos por T_m^*M, o sea:

T_m^*M := (T_mM)^* = \mathcal{L}(T_mM,\mathbb{R})

A los elementos de T_m^*M se les denomina 1-formas de M en m. Las 1-formas:

\{ d\varphi_m^1, \cdots, d\varphi_m^n \}

forman una base de T_m^*M que es, a su vez, la base dual de:

\{ \frac{\partial}{\partial \varphi^1}|_m, \cdots, \frac{\partial}{\partial \varphi^n}|_m \}

Es evidente, por tanto, que \dim T_m^*M = \dim T_m M = n.

Llamamos fibrado tangente TM a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios tangentes T_mM con m \in M, es decir:

TM := \bigsqcup_{m \in M} T_mM

Podemos construir un atlas para el fibrado a partir de los atlas de cada una de las variedades tangentes. A partir de esta construcción deducimos que \dim TM = 2n

De la misma manera, llamamos fibrado cotangente T^*M a la variedad diferenciable que resulta de la unión disjunta de todos los espacios cotangentes T_m^*M con m \in M, es decir:

T^*M := \bigsqcup_{m \in M} T_m^*M

Ademas, \dim T^*M = \dim TM = 2n

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