Sean V_1, \cdots, V_r espacios vectoriales de dimensión finita sobre \mathbb{R} y sean V_1^*, \cdots, V_r^* sus espacios duales.

Definimos el producto tensorial como el espacio vectorial de aplicaciones multilineales de V_1^* \times \ldots \times V_r^* en \mathbb{R}, es decir:

V_1 \otimes \ldots \otimes V_r := \mathcal{L}(V_1^* \times \ldots \times V_r^*, \mathbb{R})

Si v_1 \in V_1, \ldots , v_r \in V_r y \sigma_1 \in V_1^*, \ldots, \sigma_r \in V_r^*, entonces definimos v_1 \otimes , \ldots , \otimes v_r \in V_1 \otimes , \ldots , \otimes V_r como:

v_1 \otimes \ldots \otimes v_r (\sigma_1, \ldots, \sigma_r)= \sigma_1(v_1) \ldots \sigma_r(v_r)

Si \dim V_j = n_j y sea \{ e_i^j\}_{i=1}^{n_j} una base de V_j con j=1,\ldots,r, entonces:

\{e_{i_1}^1 \otimes \ldots \otimes e_{i_r}^r \}_{1 \leq i_j \leq n_j, 1 \leq j \leq r }

es una base de V_1 \otimes \ldots \otimes V_r, de manera que \dim V_1 \otimes \ldots \otimes V_r = n_1\ldots n_r.

Sea V un espacio vectorial de dimensión \dim V = n y V^* su dual. Construimos el espacio vectorial

V^{(r,s)}:=(\otimes^r V) \otimes (\otimes^s V^*)

donde \otimes^k E:= E \otimes \overset{k)}{\ldots} \otimes E es la késima potencia tensorial de E. A los elementos de V^{(r,s)} se les llama tensores r veces contravariantes y s veces covariantes sobre V. Si \{ e_1, \ldots, e_n\} es una base de V y \{ e^1, \ldots, e^n\} su base dual (los elementos e^i son 1-formes: e^i: V \longrightarrow \mathbb{R} \in V^*), entonces todo elemento de V^{(r,s)} lo podemos escribir como:

t = t^{i_1,\ldots, i_r}_{j_1,\ldots, j_s}e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_r} \otimes e^{j_1} \otimes \ldots \otimes e^{j_s}

No es dificil demostrar \mathcal{L}(V,V) \cong V \otimes V^*, \mathcal{L}(V \times V, \mathbb{R}) \cong V^* \otimes V^* y, en general:

\mathcal{L}(V \times \overset{k)}{\ldots} \times V, V) \cong V \otimes (\otimes^k V^*).

Sea M una variedad diferenciable y m \in M. Entonces:

T_m^{(r,s)} = (\otimes^r T_mM) \otimes (\otimes^s T_m^*M)

es un tensor r veces contravariante y s veces covariante de M en m y

T^{(r,s)}M = \bigsqcup_{m \in M} T_m^{(r,s)}M

es la variedad de tensores de tipo (r,s) de M. Denotamos por \pi : T^{(r,s)}M \longrightarrow M a la proyección que a cada tensor en m le hace corresponder el punto m.

Un campo tensorial r veces contravariante y s veces covariante en M, de tipo (r,s), es una aplicación diferenciable K : M \longrightarrow T^{(r,s)}M tal que \pi \circ K = id, es decir, que para cada m\in M tenemos que K_m := K(m) \in T_m^{(r,s)}M (tenemos un campo tensorial definido en cada punto de la variedad).

Si (U, \varphi) es una carta, entonces:

K|_U = K^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_s} \frac{\partial}{\partial \varphi^{i_1}} \ldots \otimes \frac{\partial}{\partial \varphi^{i_r}} \otimes d\varphi^{j_1} \otimes \ldots \otimes d\varphi^{j_s}

Los campos tensoriales son una generalización de:

  1. funciones: una función diferenciable h:M \longrightarrow \mathbb{R} determina un campo tensorial de tipo (0,0).
  2. campos vectoriales: un campo vectorial X: M \longrightarrow TM es un campo tensorial de tipo (1,0), pues TM = T^{(1,0)}.
  3. 1-formas: una 1-forma w: M \longrightarrow T^*M es un campo tensorial de tipo (0,1), ya que T^*M = T^{(0,1)}.
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