Ya hemos comentado que podemos ver un campo tensorial diferenciable como una generalización de funciones, campos vectoriales y 1-formas. Estudiaremos ahora el caso de las métricas.

Como comentamos en un post anterior, una métrica de Riemann:

g_m: T_mM \times T_mM \longrightarrow \mathbb{R}

podemos verla como un campo tensorial dos veces covariante, de tipo (0,2). Efectivamente, ya que en cada m \in M tenemos definido:

g_m \in \mathcal{L}(T_mM \times T_mM, \mathbb{R}) \cong \otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M.

Por lo tanto, tenemos que g: M \longrightarrow T^{(0,2)}M define una métrica sobre la variedad M.

Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild (r,\theta,\varphi,\tau) es:

ds^2 = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)-(1-\frac{2M}{r})d\tau^2

que en notación de productos tensoriales queda:

g = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr \otimes dr + r^2 (d\theta \otimes d\theta + \sin^2 \theta d\varphi \otimes d\varphi)-(1-\frac{2M}{r})d\tau \otimes d\tau

Acabamos de ver que g_m \in \mathcal{L}(T_mM \times T_mM, \mathbb{R}). En nuestro caso, una base de T_mM es:

\{ \frac{\partial}{\partial r}|_m, \frac{\partial}{\partial \theta}|_m, \frac{\partial}{\partial \varphi}|_m, \frac{\partial}{\partial \tau}|_m\}

por lo que \dim T_mM = 4 y su base dual:

\{ dr_m, d\theta_m, d\varphi_m, d\tau_m \}

es una base de T_m^*M con \dim T_m^*M = 4. Como:

\mathcal{L}(T_mM \times T_mM, \mathbb{R}) \cong \otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M

tenemos que:

\dim T_m^*M \otimes T_m^*M = \dim T_m^*M \cdot \dim T_m^*M = 4 \cdot 4 = 16

y una base de T_m^*M \otimes T_m^*M es:

\{ dr_m \otimes dr_m, dr_m \otimes d\theta_m, dr_m \otimes d\varphi_m, dr_m \otimes d\tau_m,

d\theta_m \otimes dr_m, d\theta_m \otimes d\theta_m, d\theta_m \otimes d\varphi_m, d\theta_m \otimes d\tau_m,

d\varphi_m \otimes dr_m, d\varphi_m \otimes d\theta_m, d\varphi_m \otimes d\varphi_m, d\varphi_m \otimes d\tau_m,

d\tau_m \otimes dr_m, d\tau_m \otimes d\theta_m, d\tau_m \otimes d\varphi_m, d\tau_m \otimes d\tau_m \}

Las componentes de nuestra métrica en esta base son:

g_{11} = \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}, g_{22} = r^2, g_{33} = r^2 \sin^2 \theta, g_{44} = -(1-\frac{2M}{r}) y g_{ij} = 0 si i \neq j.

En general, dada una variedad M de dimensión \dim M = n y un punto m \in M, entonces \dim T_mM = \dim T_m^*M = n y \dim T_m^*M \otimes T_m^*M = n^2, por lo que g_m \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

Si llamamos x^1 a la coordenada r, x^2 a la coordenada \theta, x^3 a la coordenada \varphi y x^4 a la coordenada \tau, entonces podemos referirnos a la métrica g de una forma mas compacta:

g = \sum_{\alpha,\beta=1}^4 g_{\alpha\beta}dx^\alpha \otimes dx^\beta

que en física y siguiendo el convenio de suma de Einstein, con índices griegos variando de 1 a 4 y indices latinos haciendolo entre 1 y 3, queda:

g_{\alpha \beta}dx^\alpha dx^\beta

Si calculamos la inversa de la matriz g_{\alpha \gamma}g^{\gamma \beta} = \delta_\alpha^\beta obtenemos las componentes contravariantes de la métrica:

g = \sum_{\alpha,\beta=1}^4 g^{\alpha \beta} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \otimes \frac{\partial}{\partial x^\beta} \equiv g^{\alpha \beta} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \frac{\partial}{\partial \beta}

que en el caso que nos ocupa son:

g^{11} = 1-\frac{2M}{r} , g^{22}= \frac{1}{r^2}, g^{33}=\frac{\csc \theta}{r^2} y g^{44}=-\frac{1}{1-\frac{2M}{r}}

por lo que nos queda:

g= 1-\frac{2M}{r} \frac{\partial}{\partial r} \otimes \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \otimes \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\csc \theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \varphi} \otimes \frac{\partial}{\partial \varphi} -\frac{1}{1-\frac{2M}{r}}\frac{\partial}{\partial \tau} \otimes \frac{\partial}{\partial \tau}

que también puede escribirse:

g= 1-\frac{2M}{r} \partial_r^2 + \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2 + \frac{\csc \theta}{r^2} \partial_\varphi^2 -\frac{1}{1-\frac{2M}{r}} \partial_\tau^2

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