Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión n será una variedad diferenciable de dimensión 2n dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con operaciones de grupo holomorfas son ejemplos de variedades complejas.

Las variedades lorentzianas son importantes en relatividad general. La mecánica cuántica tiene su base matemática en los espacios de Hilbert complejos separables (L^2(\mathbb{R}) o \mathbb{C}^{2n+1}).

Existen diferentes maneras de definir el cuerpo de los números complejos. La mas intuitiva es hacer tomar el conjunto \mathbb{R} \times \mathbb{R} y definir las operaciones internas:

  • (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) .
  • (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1).

con (x_1,y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Es sencillo comprobar que \mathbb{C} := (\mathbb{R} \times \mathbb{R}, +, \cdot) tiene estructura de cuerpo.

Otra manera mas elegante es ver que \mathbb{C} \cong \frac{\mathbb{R}[x]}{(x^2+1)} donde (x^2+1) es el ideal generado por el polinomio irreducible x^2+1 \in \mathbb{R}[x], pues existe una propiedad que nos dice que un anillo conciente de este tipo tiene estructura de cuerpo.

El análisis complejo se encarga del estudio de las funciones de variable compleja. En próximos posts exponemos de manera breve algunos de los contenidos básicos del área: funciones analíticas, funciones holomorfas, funciones elementales, integración en el plano complejo con formula y teorema de Cauchy y teoremas de Laurent y de los residuos con algunas aplicaciones.

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