Consideraremos el plano complejo \mathbb{C} dotado de la topología inducida a partir del módulo con la distancia d(z,w) = |z-w|. Llamaremos disco abierto de centro z_0 y radio r al conjunto:

D(z_0,r):= \{ z \in \mathbb{C}: |z-z_0|<r \}.

Dada una sucesión de números complejos \{ z_n \}_{n \geq 0}, diremos que es convergente a un número complejo z cuando |z-z_0| \rightarrow 0 si n \rightarrow \infty.

Una serie \sum_{n \geq 0} z_n es convergente a z \in \mathbb{C} cuando la sucesión de sumas parciales \{ \sum_{n=0}^m z_n\}_{m \geq 0} es convergente a z.

La serie \sum_{n \geq 0} z_n es absolutamente convergente cuando \sum_{n \geq 0} |z_n| converge.
Teorema (Criterio de la raíz o Cauchy, de Dirichlet, de sumación parcial de Abel, de Dirichlet y de Abel): son una serie de criterios que permiten determinar cuando una serie es convergente, absolutamente convergente o divergente.

Una serie de potencias centrada en z_0 \in \mathbb{C}, es una serie de la forma:

\sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n

con c_n, z \in \mathbb{C}. Al punto z_0 se le llama centro de la serie y a la sucesión \{ c_n \} coeficientes de la serie de potencias.

Definición (Radio de convergencia): Definimos el radio de convergencia como:

R = (\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|c_n|})^{-1} \in [0,+\infty[,

donde asumiremos que \frac{1}{+\infty}=0 y \frac{1}{0} = +\infty y que R = +\infty \Rightarrow D(z_0,R) = \mathbb{C}.

Teorema (Cauchy-Hadamard): Sea R el radio de convergencia de \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n, entonces la serie converge absolutamente en |z-z_0|<R y diverge en |z-z_0|>R. Además, la serie converge uniformemente en |z-z_0| \leq r con 0 \leq r < R (subconjuntos compactos de D(z_0,R)).

Corolario: la serie de potencias \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n define una función continua en el interior del disco de convergencia |z-z_0| < R.

Teorema (Principio de los ceros aislados): Sea

f(z)= \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n

con radio de convergencia R > 0. Entonces si f(z_0) = 0 y f no es idénticamente nula, existe \delta > 0 tal que f(z) \neq 0 si 0< |z-z_0|< \delta.

Lo que nos dice este principio es, sencillamente, que los ceros de las funciones analíticas no son puntos de acumulación, es decir, que son puntos aislados.

Definición (Función analítica): Sea U \subset \mathbb{C} un abierto, f:U \longrightarrow \mathbb{C} y z_0 \in U. Diremos que f es analítica en z_0 si existe D(z_0,R) \subset U tal que f podemos escribirla mediante una serie de potencias centrada en z_0 en D(z_0,R). Diremos que f es analítica en U si lo es en cada punto de U.

Ejemplo: los polinomios y las series de potencias centradas en z_0 son funciones analíticas en z_0.

Definición (Prolongación analítica): Si h: V \longrightarrow \mathbb{C} y f: U \longrightarrow \mathbb{C} son dos funciones analíticas con V \subset U \subset \mathbb{C} abiertos de manera que f(z) = h(z) si z \in V, o sea, f|_V = h, diremos que f es una prolongación analítica de h.

Teorema (Principio de prolongación analítica): Sea U un abierto conexo del plano. Sea V \subset U un conjunto de puntos que tiene puntos de acumulación en U, o sea, ac_U(V) \neq \emptyset. Entonces, si f es analítica en U y la restricción de f sobre V es f|_V = 0, entonces f=0 en U.

Corolario: Sean f, g analíticas en un abierto conexo U y sea V \subset U tal que ac_U(V) \neq \emptyset y f|_V = g|_V. Entonces f = g en U.

Con todo esto, resulta que las extensiones analíticas son únicas si el dominio de éstas es conexo, es decir, si f: U \longrightarrow \mathbb{C} y g: U \longrightarrow \mathbb{C} con U \subset \mathbb{C} conexo son dos prolongaciones analíticas de h: V \longrightarrow \mathbb{C}, entonces f = g en todos los puntos. Esto se debe a que f-g: U \longrightarrow \mathbb{C} se anula en V que es un conjunto no vacío de U, y una función analítica que se anula en un conjunto no vacío debe anularse en todo su dominio si este es conexo, por lo que debe ser f-g \equiv 0.

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