Definición (Función holomorfa): Sean U \subset \mathbb{C} abierto, f: U \longrightarrow \mathbb {C} y z_0 \in U. Decimos que f es holomorfa (derivable o entera) en z_0 si existe:

\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = f'(z_0).

Diremos que es derivable en U si lo es todo sus puntos. Representaremos por \mathcal{H}(U) al conjunto de todas las funciones holomorfas en U. Si f \in \mathcal{H}(U) entonces también es continua en U.

Teorema (Reglas de derivación): es sencillo deducir las reglas de derivación compleja para la suma, producto, cociente y la regla de la cadena.

Teorema: Sea f(z) = \sum_{n \geq 0} c_n (z-z_0)^n una serie de potencias con radio de convergencia R>0. Entonces f es holomorfa en D(z_0,R) y f'(z) = \sum_{n \geq 1} n c_n z^{n-1} con radio de convergencia R.

Corolario: Si f es analítica en U entonces f es holomorfa en U y f \in C^{\infty}(U) (el recíproco veremos que también es cierto).

Definición (Ecuaciones de Cauchy-Riemann): Si f(z) = u + iv es derivable en z_0 = x_0 + i y_0, entonces existen las derivadas parciales u_x, u_y, v_x, v_y y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

u_x = v_y y u_y = -v_x.

De esta manera, las funciones derivables complejas no son mas que funciones diferenciables de \mathbb{R}^2 cumpliendo unas ecuaciones adicionales.

Teorema (Condición suficiente de derivabilidad): Sea f: U \longrightarrow \mathbb{C} continua con U \subset \mathbb{C} abierto y f(z)=u+iv. Si las cuatro derivadas parciales u_x, u_y, v_x, v_y existen, son continuas en U y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es derivable en U.

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