Definición (Función exponencial): Sea z \in \mathbb{C}, definimos:

\exp(z) = e^z := \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!} \in C^\infty(\mathbb{C}).

Propiedades: Es sencillo verificar que (e^z)' = e^z, e^{z+w} = e^z e^w y e^z \neq 0, e^{-z} = \frac{1}{e^z}. Además:

e^z = 1 \Leftrightarrow z = 2\pi n i con n \in \mathbb{N}.

Por lo que la función exponencial compleja es periódica de periodo imaginario 2\pi.

Definición (Funciones trigonométricas e hiperbólicas): Sea z \in \mathbb{C}, definimos:

\sin(z):=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, por lo que \sin(z) = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}

\cos(z):=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, por lo que \cos(z) = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}

\sinh(z):=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\cosh(z):=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}

Propiedades: Las funciones trigonométricas y las hiperbólicas son holomorfas y de clase C^\infty(\mathbb{C}). Además, se cumple:

\sin(z \pm w) = \sin(z) \cos(w) \pm \cos(z) sin(w),

\cos(z \pm w) = \cos(z) \cos(w) \mp \sin(z) sin(w),

\sinh(z \pm w) = \sinh(z) \cosh(w) \pm \cosh(z) sinh(w),

\cosh(z \pm w) = \cosh(z) \cosh(w) \pm \sinh(z) sinh(w).

Además, \sin^2 z + \cos^2 z = 1, son 2\pi-periódicas, \sin(z) = 0 \Leftrightarrow z = n \pi y \cos(z)=0 \Leftrightarrow z = \frac{\pi}{2} + n \pi con n \in \mathbb{N}.

Definición (Argumento): Sea z \in \mathbb{C} - \{ 0\}, diremos que \alpha es un argumento de z si z = |z|(\cos \alpha + i \sin \alpha). Definimos:

\arg z := \{ \alpha \in \mathbb{R}: z=|z|(\cos \alpha + i \sin \alpha)\},

y si \alpha_0 \in \arg z entonces:

\arg z := \{ \alpha_0 + 2 \pi n : n \in \mathbb{Z} \}.

Definición (Logaritmo y ramas del logaritmo): Sea z \in \mathbb{C}-\{0\}. Diremos que w \in \mathbb{C} es un logaritmo de z si e^w = z. Así pues, definiremos:

\log z := \{ w \in \mathbb{C}: e^w = z\}.

Además, si w=x+iy entonces w = \log z = \ln |z| + i \arg z

Definición: Sea \alpha \in \mathbb{R} y H_\alpha=\{ -r(\cos \alpha + i \sin \alpha): r \geq 0 \}. Definimos \arg_\alpha: \mathbb{C} - H_\alpha \longrightarrow ]\alpha - \pi, \alpha + \pi[ como el único argumento de z en el intervalo ]\alpha - \pi, \alpha + \pi[.

Definición: Sea \alpha \in \mathbb{R} y H_\alpha = \{ -r (\cos \alpha + i \sin \alpha): r \geq 0 \}. Entonces:

log_\alpha: \mathbb{C} - H_\alpha \longrightarrow \mathbb{C} / z \mapsto \log_\alpha(z) = \ln |z| + i \arg_\alpha z

Teorema: La función \log_\alpha es derivable en \mathbb{C} - H_\alpha y la derivada es (log_\alpha z)' = \frac {1}{z}. Además, log_0 (1+z) = \sum_{n \geq o} (-1)^n \frac{z^{n+1}}{n+1} donde \log_0 es el logaritmo principal (\alpha = 0 y H_0 = \{ -r: r \geq 0 \} ). El logaritmo no se puede extender continuamente.

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