Integración en el plano complejo.

Definición (Camino, camino opuesto y caminos equivalentes): Un camino es una aplicación

\gamma:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C}

de clase C^1 a trozos. Si además \gamma(a) = \gamma(b) entonces tenemos un camino cerrado.

Se llama camino opuesto de \gamma a la aplicación

(-\gamma):[-b,-a] \longrightarrow \mathbb{C} \,/\, t \mapsto (-\gamma)(t):=\gamma(-t)

o, de manera equivalente, para mantener el mismo dominio

(-\gamma):[a,b] \longrightarrow \mathbb{C} \,/\, t \mapsto (-\gamma)(t):=\gamma(a+b-t).

Dados dos caminos \alpha:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C} y \beta:[c,d] \longrightarrow \mathbb{C} son equivalentes si existe \varphi:[c,d] \longrightarrow [a,b] biyectiva de clase C^1a trozos creciente de manera que $\beta = \alpha \circ \varphi$.

Definición (Integración a lo largo de un camino): Sea f:U \subset \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} una función continua y sea \gamma:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C} un camino C^1 tal que \gamma^* := \gamma([a,b]) \subset U. Entonces:

\int_\gamma f(z) dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt

Propiedades: Dada f:A \subset \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} es sencillo demostrar

  1. \int_\gamma a f(z)+b g(z) dz = a \int_\gamma f(z)dz + b \int_\gamma f(z)dz.
  2. Si \alpha y \beta son equivalentes en A entonces \int_\alpha f(z)dz = \int_\beta f(z)dz.
  3. \int_\gamma f(z)dz = -\int_{-\gamma} f(z)dz.
  4. Si \gamma = \alpha \cup \beta entonces \int_\gamma f(z)dz = \int_\alpha f(z)dz + \int_\beta f(z)dz.
  5. |\int_\gamma f(z)dz| \leq M L(\gamma) donde M:= \max \{ |f(z)|: z \in \gamma^* \} y L(\gamma) es la longitud de la curva \gamma.
  6. Teorema fundamental de cálculo: \int_\gamma f(z) dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)), siendo F una primitiva de f. En particular, si \gamma es cerrado y \gamma(a) = \gamma(b) entonces \int_\gamma f(z) dz = 0.

Teorema de Cauchy.

Teorema (de Cauchy)

Corolario (Existencia de primitiva de una función analítica)

Teorema (de Morera)

Fórmula de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy: Sea A un abierto, sea \overline{D(z_0,R)} \subset A y f \in \mathcal{H}(A). Entonces

f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{C(z_o,R)} \frac{f(u)}{u-z} du siempre que |z-z_0|<R

Fórmula integral de Cauchy para derivadas: Sea f \in \mathcal{H}(A), \overline{D(z_0,R)} \subset A. Entonces

f^{n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du,\, \forall z \in D(z_0,R).

Teorema (de Liouville):

Teorema (fundamental del álgebra):

Teorema (de Weierstrass):

Definición (Indice de un punto respecto de un camino): Sea \gamma un camino y sea A = \mathbb{C} - \gamma^*. Entonces se define el índice de z \in A respecto de \gamma al número:

ind_\gamma(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{du}{u-z}

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