Realizaremos algunos cálculos típicos en variedades diferenciables. Para ello, vamos a suponer que tenemos el campo vectorial

X = -4y \frac{\partial}{\partial x} + 9x \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z} \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3)

y el campo vectorial

Y=-\frac{\partial}{\partial y} + 3x \frac{\partial}{\partial z} \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3).

Tenemos tambien la 1-forma \alpha = 2xy dz - z dx. En este caso trabajamos con la variedad M = \mathbb{R}^3 (en física los escribiríamos X(x,y,z) = (-4y,9x,1) o \vec{Y}=(0,-1,3x)).

Empezaremos calculando un corchete de Lie. ¿Cómo queda el cálculo de [X,Y]? Si escribimos el corchere con los campos concretos nos queda:

[X,Y] = [-4y \frac{\partial}{\partial x} + 9x \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z},-\frac{\partial}{\partial y} + 3x \frac{\partial}{\partial z}].

Lo primero que hacemos es aplicar que el corchete de Lie es bilineal, por lo que la expresión anterior queda:

[-4y \frac{\partial}{\partial x},-1 \frac{\partial}{\partial y} ] + [-4y \frac{\partial}{\partial x}, 3x \frac{\partial}{\partial z}] +

+ [9x \frac{\partial}{\partial y},-1 \frac{\partial}{\partial y}] + [9x \frac{\partial}{\partial y}, 3x \frac{\partial}{\partial z}] +

+ [1 \frac{\partial}{\partial z},-1 \frac{\partial}{\partial y}] + [1 \frac{\partial}{\partial z}, 3x \frac{\partial}{\partial z}]

Se puede demostrar que si g,h \in C^\infty(M) y X,Y \in \mathfrak{X}(M) entonces:

[gX,hY] = gX(h)Y - hY(g)X + gh[X,Y],

por lo que, si la aplicamos a nuestro caso concreto, nos queda:

-4y \frac{\partial(-1)}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} + 1 \frac{\partial (-4y)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} + (-4y)(-1)[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}] +

-4y \frac{\partial(3x)}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z} - 3x \frac{\partial (-4y)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial x} + (-4y)(3x)[\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial z}] +

9x \frac{\partial(-1)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} + 1 \frac{\partial (9x)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} + (9x)(-1)[\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial }{\partial y}] +

9x \frac{\partial(3x)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} - 3x \frac{\partial (9x)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} + (9x)(3x)[\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}] +

1 \frac{\partial(-1)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} + 1 \frac{\partial (1)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} + (1)(-1)[\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial }{\partial y}] +

1 \frac{\partial(3x)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z} - 3x \frac{\partial (1)}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z} + (1)(3x)[\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial }{\partial z}].

Realizando las derivadas parciales indicadas (\frac{\partial (-1)}{\partial x} =0, \frac{\partial (-4y)}{\partial y} = 4, …) y teniendo en cuenta que el corchete de Lie de campos coordenados es nula, nos queda:

[X,Y] = -4 \frac{\partial}{\partial x} -12y \frac{\partial}{\partial z} \in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3).

Vamos a calculara ahora d\alpha. Para empezar, aprovechamos que es lineal, por lo que:

d\alpha = d(2xydz - zdx) = d(2xydz) - d(zdx)

y ahora aplicamos la definición del operador diferencial exterior a cada sumando:

d(2xy)\wedge dz - d(z) \wedge dx

finalmente, como la diferencial exterior sobre funciones es la diferencial ordinaria, aplicando las propiedades distributiva, antisimétrica y d^2=0, nos queda:

(2ydx + 2xdy) \wedge dz - dz \wedge dx =

2y \, dx \wedge dz + 2x \, dy \wedge dz + dx \wedge dz

Por lo, finalmente, nos queda:

d\alpha = 2y+1\,dx \wedge dz + 2x\,dy\wedge dz

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