Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos \mathcal{L}_{[X,Y]} \beta con \beta := d \alpha?

Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados:

Z:=[X,Y] = -4 \frac{\partial}{\partial x} -12y \frac{\partial}{\partial z}

y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos  la 2-forma resultante de calcular la diferencial exterior de la 1-forma::

\beta = 2y+1\,dx \wedge dz + 2x\,dy\wedge dz

y finalmente calcular la derivada de Lie de la forma respecto del campo.

Todos los cálculos se reduciran a saber aplicar la derivada de Lie a funciones, campos vectoriales y a la diferencial exterior de 1-formas sabiendo que es una derivación:

  1. \mathcal{L}_Xh = X(h)
  2. \mathcal{L}_XY = [X,Y]
  3. \mathcal{L}_X d\alpha = d \mathcal{L}_X (\alpha)

de manera que:

\mathcal{L}_Z \beta = \mathcal{L}_Z (2y+1\,dx \wedge dz + 2x\,dy\wedge dz) =

\mathcal{L}_Z (2y+1 \, dx \wedge dz) + \mathcal{L}_Z (2x \, dy \wedge dz) =

\mathcal{L}_Z(2y+1) \, dx \wedge dz + (2y +1) \mathcal{L}_Z(dx) \wedge dz + (2y+1) \, dx \wedge \mathcal{L}_Z(dz) +

\mathcal{L}_Z(2x) \, dy \wedge dz + 2x \mathcal{L}_Z(dy) \wedge dz + 2x \, dy \wedge \mathcal{L}_Z(dz)).

Para evitar errores, calculamos separadamente cada derivada de Lie:

\mathcal{L}_Z (2y+1) = Z(2y+1) = [X,Y](2y+1) = (-4 \frac{\partial}{\partial x} -12y \frac{\partial}{\partial z})(2y+1) =

= -4 \frac{\partial}{\partial x}(2y+1) -12y \frac{\partial}{\partial z}(2y+1) = 0

\mathcal{L}_Z (dx) = d \mathcal{L}_Z x = d([X,Y](x)) = d(-4 \frac{\partial}{\partial x}x -12y \frac{\partial}{\partial z}x) = d(-4)=0

\mathcal{L}_Z(dz) = d \mathcal{L}_Z z = d([X,Y](z) = d(-4 \frac{\partial}{\partial x}z -12y \frac{\partial}{\partial z}z)) = -12 dy

\mathcal{L}_Z (2x) = [X,Y](2x) = -4 \frac{\partial}{\partial x}2x -12y \frac{\partial}{\partial z}2x = -8

\mathcal{L}_Z (dy) = d \mathcal{L}_Z y = d([X,Y](y)) = d(-4 \frac{\partial}{\partial x}y -12y \frac{\partial}{\partial z}y) = 0

\mathcal{L}_Z(dz) = -12 dy

Por lo que, finalmente, tenemos:

-12(2y+1) \, dx \wedge dy - 24 \, dy \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz

y como d^2 = 0, nos queda:

-12(2y+1) \, dx \wedge dy -8 \, dy \wedge dz

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