29 | septiembre | 2012

En el cáculo de este post, como $\mathcal{L}_X d\alpha = d \mathcal{L}_X \alpha$ , y en este caso conocemos $\alpha$ , también podemos hacer:

$\mathcal{L}_{[X,Y]}d \alpha = d\mathcal{L}_Z \alpha = d \big [ \mathcal{L}_{(-4 \frac{\partial}{\partial x} - 12y \frac{\partial}{\partial z})} (2xy\,dz - z \, dx \big ])$

Calculamos, en primer lugar, $\mathcal{L}_Z \alpha$ :

$\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) - \mathcal{L}_Z (z \, dx)$

Por una parte, tenemos:

$\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) = (\mathcal{L}_Z 2xy) \, dz + 2xy \, \mathcal{L}_Z dz =$

$= (-4 \frac{\partial}{\partial x} 2xy - 12y \frac{\partial}{\partial z} 2xy ) \, dz + 2xy \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) =$

$= -24xy \, dy - 8y \, dz$

Y por otra:

$\mathcal{L}_Z (z \, dx) = \mathcal{L}_Z z \, dx + z \, \mathcal{L}_Z dx =$

$= (-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) \, dx + z \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} x - 12y \frac{\partial}{\partial z} x) =$