En el cáculo de este post, como \mathcal{L}_X d\alpha = d \mathcal{L}_X \alpha, y en este caso conocemos \alpha, también podemos hacer:

\mathcal{L}_{[X,Y]}d \alpha = d\mathcal{L}_Z \alpha = d \big [ \mathcal{L}_{(-4 \frac{\partial}{\partial x} - 12y \frac{\partial}{\partial z})} (2xy\,dz - z \, dx \big ])

Calculamos, en primer lugar, \mathcal{L}_Z \alpha:

\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) - \mathcal{L}_Z (z \, dx)

Por una parte, tenemos:

\mathcal{L}_Z (2xy \, dz) = (\mathcal{L}_Z 2xy) \, dz + 2xy \, \mathcal{L}_Z dz =

= (-4 \frac{\partial}{\partial x} 2xy - 12y \frac{\partial}{\partial z} 2xy ) \, dz + 2xy \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) =

= -24xy \, dy - 8y \, dz

Y por otra:

\mathcal{L}_Z (z \, dx) = \mathcal{L}_Z z \, dx + z \, \mathcal{L}_Z dx =

= (-4 \frac{\partial}{\partial x} z - 12y \frac{\partial}{\partial z} z) \, dx + z \, d(-4 \frac{\partial}{\partial x} x - 12y \frac{\partial}{\partial z} x) =

= -12y \, dx

Por lo tanto, tenemos:

12y \, dx -24xy \,dy - 8y \, dz

Finalmente, solo queda calcular:

d \big [ 12y \, dx -24xy \,dy - 8y \, dz \big ] =

= 12 \, dy \wedge dx - 24 \, d(xy) \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz =

12 \, dy \wedge dx - 24 \, (y \, dx + x \, dy) \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz =

-12(2y + 1) \, dx \wedge dy - 8 \, dy \wedge dz

ya que -24x \, dy \wedge dy = 0 por la propiedad de que d^2 = 0, obteniendo así el mismo resultado que anteriormente.

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