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En el libro “Geometria Diferencial i Relativitat” de J. Girbau aparecen algunos ejemplos concretos de variedades diferenciables.

Para empezar, \{ (\mathbb{R}^n, id_{\mathbb{R}^n}) \} es un atlas que dota al espacio euclídeo \mathbb{R}^n de estructura de variedad diferenciable de dimensión n y clase C^\infty.

También podemos considerar la esfera S^n(r) (n-esfera, hiperesfera) de radio r centrada en el origen de \mathbb{R}^{n+1}. Si llamamos N al polo norte, de coordenadas (0,0,\ldots,0,r), y S al polo sur, de coordenadas (0,0,\ldots,0,-r), sean U_1 = S^n(r)-\{N\} y U_2=S^n(r)-\{S\} y sean \varphi_1:U_1 \longrightarrow \mathbb{R}^n la proyección estereográfica desde N sobre el plano x^{n+1}=0 y \varphi_2:U_2 \longrightarrow \mathbb{R}^n la proyección estereográfica desde S sobre el plano del ecuador. Se puede comprobar que \{ (U_1, \varphi_1), (U_2, \varphi_2) \} es un atlas C^\infty de dimensión n que dota a S^{n}(r) de una estructura de variedad diferenciable.

Otro ejemplo concreto de variedad diferenciable es el plano proyectivo real \mathbb{R}P^n. Consideramos en \mathbb{R}^{n+1} - \{ 0 \} la relación de equivalencia:

x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}: x = \lambda y.

De esta manera,

\mathbb{R}P^n := \frac{\mathbb{R}^{n+1} - \{ 0 \}}{\sim}

Es fácil comprobar que \{ (U_i, \varphi_i)\}, i=0,\ldots,n donde

U_i = \{ [ x^0 :\ldots : x^n ], x_i \neq 0 \}, i=0,\ldots,n,

siendo [ x^0: \ldots :x^n ] coordenadas homogéneas, y

\varphi_i: U_i \longrightarrow \mathbb{R}^n \,/\, [x^0:\ldots:x^n] \mapsto (\frac{x^0}{x^i},\ldots,\hat{\frac{x^i}{x^i}},\ldots,\frac{x^n}{x^i})

donde \hat{\frac{x^i}{x^i}} significa que falta la componente i-ésima, dota a \mathbb{R}P^n de una estructura de variedad diferenciable. Este ejemplo es de naturaleza diferente del anterior ya que \mathbb{R}P^n no se presenta dentro de ningún \mathbb{R}^n.

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En la tesis doctoral “Relativistic simulations of compact object mergers for nucleonic matter and strange quark matter” de A. Bauswein comenta la implementación numérica del modelo físico para simular colisiones de objetos compactas.

La implementación numérica consta de dos partes: una que resuelve las ecuaciones de Euler tridimensionales relativistas que nos dan la evolución hidrodinámica del sistema y la otra que nos da una solución de las ecuaciones de campo de Einstein que nos proporcionan el campo gravitatorio donde se mueve el fluido.

Como ya comentamos en este post, utilizando SPH las ecuaciones de la hidrodinámica se tranforman en un conjunto de ODEs que podemos resolver mediante el método Runge-Kutta de cuarto orden. Las derivadas de los potenciales de la métrica se evaluan sobre una malla superpuesta y se mapean en las partículas. Se utiliza un paso de tiempo adaptativo para satisfacer la condición de Courant-Friedrichs-Levi. Todas las cantidades se representan por sus valores en las partículas, que corresponde con una visión de la hidrodinámica Lagrangiana, y la evolución temporal de las cantidades hidrodinámicas se calcula en la partículas.

Se añade un esquema de viscosidad artificial dependiente del tiempo para manejar choques hidrodinámicos. Este modelo resuelve un problema de Riemann local dado por los dos estados de partículas vecinas y añadiendo la correspondiente contribución a las ecuaciones de conservación del momento y de la energía.

A diferencia del SPH Newtoniano, la gravedad no se puede implementar dentro del esquema de partículas. Debemos resolver las ecuaciones de campo de Einstein, para lo que se utiliza el formalismo 3+1 o ADM que consiste en foliar el espacio-tiempo en hipersuperfícies espaciales con coordenada de tiempo constante. En esta aproximación, las ecuaciones de campo de Einstein se dividen en un conjunto de ecuaciones de ligadura y un conjunto de ecuaciones de evolución formulando de esta manera un problema de Cauchy.

Dos variedades diferenciales M y N son difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas. Sin considerar ninguna estructura adicional, dos variedades difeomorfas son equivalentes.

Sea f:M \longrightarrow N una aplicación entre variedades de clase C^k.

Diremos que f es un difeomorfismo de clase C^k si es bijectiva, diferenciable y f^{-1} también es diferenciable de clase C^k.

Diremos que f es diferenciable de clase C^k si lo es en cada punto de M. Usualmente, como en variedades, utilizamos diferenciable para diferenciable de clase C^\infty.

Diremos que f es diferenciable en m \in M de clase C^k  si existen cartas adaptadas (U,\Phi) de M y (V,\Psi) de N tales que m \in U y su representación local \bar{f} es diferenciable en \Phi(m) de clase C^k.

Dos cartas (U,\Phi) de M y (V,\Psi) de N estan adaptadas a f si f(U) \subset V. Llamamos representación local de f en las cartas (U,\Phi) y (V,\Psi) a \bar{f} = \Psi \circ f \circ \Phi^{-1}: A \longrightarrow B.

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