Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

Sea f(z) \in \mathcal{H}(A) y \overline{D(z_0,R)} \subset A. Entonces:

f^{n)}(z) = \frac{n!}{2 \pi i} \int_{C(z_0,R)} \frac{u}{u-z}du, \, \forall z \in D(z_0,R).

demostración:

Sabemos que f(\xi) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{C(z_0,R)} \frac{f(u)}{u-\xi}du siempre que |\xi - z_0|<R.

Fijamos ahora z \in D(z_0,R) y escogemos 0 < r < R: D(z,r) \subset D(z_0,R). Tenemos un teorema que nos asegura que si |\xi - z| < r entonces:

f(\xi) = \frac{1}{2 \pi i} \sum_{n=0}^\infty (\int_{C(z_0,R)} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} du) (\xi - z)^n,

por lo que:

\frac{f^{n)}(z)}{n!} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{C(z_0,R)} \frac{u}{u-z}du

Aplicaciones:

1. Calcular

\int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{e^z}{z(1-z)^2}dz.

En este caso, la única singularidad que queda dentro de la circunferencia es el 0. Tenemos que aislarla, por lo que escribimos la integral de la siguiente forma:

\int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{\frac{e^z}{(1-z)^2}}{z-0} dz = \int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{f(z)}{(z-0)}

con f(z):=\frac{e^z}{(1-z)^2}. Ahora tenemos que f(z) es holomorfa en todos los puntos excepto en el 1, que no está dentro de la circunferencia que consideramos en la integral i, por tanto, podemos aplicar el teorema integral de Cauchy para las derivadas y obtenemos

\int_{C(0,\frac{1}{2})} \frac{f(z)}{z} = 2 \pi i f(0) = 2 \pi i

ya que f(0) = \frac{e^0}{(1-0)^2} = 1.

2. Calcular

\int_{C(1,\frac{1}{2})} \frac{e^z}{z(1-z)^2}dz.

Ahora, la singularidad que queda dentro de la circunferencia es el 1 y tenemos que aislarlo para poder aplicar el teorema integral para derivadas. Escribimos

\int_{C(1,\frac{1}{2})} \frac{\frac{e^z}{z}}{(z-1)^2} = 2 \pi i f'(1)

aplicando el teorema. De esta manera, como f'(z) = \frac{ze^z - e^z}{z^2} y f'(1)=0, donde f(z):=\frac{e^z}{z}, nos queda que la integral vale 0.

3. Calcular

I:=\int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z(1-z)^2}dz.

Ahora las dos singularidades están dentro de la circunferencia considerada. Lo que haremos es decomponer \frac{1}{z(z-1)^2} en fracciones simples:

\frac{1}{z(z-1)^2} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z-1} + \frac{C}{(z-1)^2}.

Esto nos lleva a un sistema cuya solución es A=1=C, B=-1, por lo que podemos escribir:

I = \int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z} dz - \int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z-1} dz + \int_{C(0,2)} \frac{e^z}{(z-1)^2}

de manera que podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy para las derivadas, con f(z):=e^z que es holomorfa en todo el plano, a cada integral:

I = 2 \pi i (f(0) - f(1) + f'(1)) = 2 \pi i (1 - e + e) = 2 \pi i.

Anuncios