Para formular matemáticamente la mecánica cuántica necesitamos hablar de espacios de Hilbert y de operadores lineales. La rama de las matemáticas que trata estos temas es el análisis funcional.

Procederemos a dar cada una de las definiciones en el momento que las necesitemos, de manera que, como lo que nos interesan son los espacios de Hilbert y los operadores lineales, definiremos estos en primer lugar. Sin embargo, como estas definiciones se basan en otras definiciones, que por abstracción adquieren identidad propia, iremos introduciendo las mismas a medida que nos vayan apareciendo.

Espacios de Hilbert

Definición (Espacio de Hilbert): Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo.

A esto nos referiamos, pués de momento, nos hemos quedado tal y como estabamos, pues no sabemos que significa ser prehilbertiano y tampoco completo. Estos nuevos conceptos aparecen porque al estudiar los espacios de Hilbert y abstraer ciertas partes, estas adquieren interes per se.

Definición (Espacio prehilbertiano): Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial H sobre un cuerpo \mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} en el que tenemos definido un producto escalar.

Definición (Producto escalar): Un producte escalar en un \mathbb{K}-espacio vectorial H es una aplicación:

\langle \cdot , \cdot \rangle: H \times H \longrightarrow \mathbb{K}

tal que es:

  1. lineal en la primera componente: \langle x + y , z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle y $$
  2. simétrica en \mathbb{R}\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle, o hermítica en \mathbb{C}, \langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle}.
  3. definida positiva: \langle x,x \rangle \geq 0 y \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x=0

Ejemplos

  • (\mathbb{R}^n,\langle \cdot, \cdot \rangle) con \langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i es un espacio prehilbertiano.
  • (\mathbb{C}^n, \langle \cdot,\cdot \rangle) con \langle z,w \rangle = \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i} es un espacio prehilbertiano.
  • Sea A un conjunto igual a \{ 1, \ldots , n\}, \mathbb{N}, \mathbb{Z}. El espacio \ell^2(A) es un espacio prehilbertiano con el producto escalar \langle x,y \rangle := \sum_{\alpha \in A} x_\alpha \overline{y_\alpha} con x = \{ x_\alpha \}_{\alpha \in A} y y = \{ y_\alpha \}_{\alpha \in A}. En el caso que A = \mathbb{N} o \mathbb{Z} escribiremos \ell^2(A) = \ell^2. Si A = \{1,\ldots,n\} entonces \ell^2(A) \equiv \mathbb{K}^n que tambien se denota por \ell^2(n).

Vamos a demostrar este último ejemplo. Probaremos, en primer lugar, que \ell^2 es un espacio vectorial, y posteriormente, que \langle \cdot,\cdot \rangle es un producto interior.

Definición (Notación de Dirac): Una notación alternativa para el producto escalar introducida por Dirac y ampliamente utilizada en mecánica cuántica por su versatilidad es la notación bra-ket. Podemos escribir el producto escalara en notación matricial:

\langle \cdot | \cdot \rangle :

Espacios de Banach

Para empezar, recordaremos que un espacio normado es un par (E,|| \cdot ||_E) formado por un espacio vectorial E sobre un cuerpo K, que puede ser \mathbb{R} o \mathbb{C}, y una norma ||\cdot||_E sobre E, que es una función:

||\cdot||_E : E \longrightarrow [0,+\infty[

que satisface las propiedades de:

  1. separación: ||x||_E = 0 \Leftrightarrow x = 0.
  2. homogeneidad: ||\lambda x|| = |\lambda|||x||_E.
  3. desigualdad triangular:
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