El teorema de los residuos es una parte fundamental de la variable compleja y es una generalización del teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy

Sean \Omega \subset \mathbb{C} un abierto simplemente conexo (I(\gamma,z) = 0 si z \notin \Omega), f \in \mathcal{H}(\Omega) y \gamma un ciclo tal que \gamma^* \subset \Omega. Entonces, para z \in \Omega-\gamma^*:

\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(u)}{u-z}du = f(z) I(\gamma,z).

demostración:

Teorema integral de Cauchy.

Sean \Omega \subset \mathbb{C} un abierto simplemente conexo (I(\gamma,z) = 0 si z \notin \Omega), f \in \mathcal{H}(\Omega) y \gamma un ciclo tal que \gamma^* \subset \Omega. Entonces, para z \in \Omega-\gamma^*:

\int_\gamma f(u)du = 0

demostración:

Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

Sean \Omega \subset \mathbb{C} un abierto simplemente conexo (I(\gamma,z) = 0 si z \notin \Omega), f \in \mathcal{H}(\Omega) y \gamma un ciclo tal que \gamma^* \subset \Omega. Entonces, para z \in \Omega-\gamma^*:

\frac{n!}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du = f^{n)}(z) I(\gamma,z)

demostración:

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