Teorema de Laurent.

Definición (serie de Laurent): Sea z_0 \in \mathbb{C}. Una serie de Laurent en z_0 es formalmente una expresión de la forma:

\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (z-z_0)^n con a_n \in \mathbb{C}.

Llamaremos parte analítica a \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n y parte principal a \sum_{n=1}^\infty a_n (z-z_0)^{-n}. Diremos que la serie es convegente en z si lo son su parte analítica y su parte principal.

Definición (anillo): Llamaremos anillo centrado en z_0 de radio menor r y radio mayor R a:

A(z_0;r,R):= \{ z \in \mathbb{C}: r < |z-z_0| < R\}.

En el caso que r=0 entonces A(z_0;0,R) = D(z_0,R)-\{z_0\} = D'(z_o,R) tenemos un disco perforado. Si r=0 y R=\infty entonces A(z_o;0,\infty) = \mathbb{C}-\{z_0\}. Finalmente, si r \neq 0 y R = \infty entonces A(z_0,r,\infty = \mathbb{C}-\overline{D(z_o,r)}.

Teorema (de Laurent): Si f \in \mathcal{H}(A(z_0;r,R)) entonces existe a_n \in \mathbb{C} tal que:

f(z)= \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n(z-z_0)^n para todo $z \in A(z_0;r,R)$.

demostración:

Clasificación de singularidades aisladas

Teorema de los residuos.

Definición (función meromorfa): Sea f:U-A \longrightarrow \mathbb{C} una función analítica con U \subset \mathbb{C} un abierto y A el conjunto de singularidades aisladas de f. Diremos que f es una función meromorfa en U.

Teorema (de los residuos)

Integrales tipo I, II, III, IV, V i VI

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