En la siguiente simulación tenemos 1000 partículas. Cada partícula a representa un péndulo de masa m_a y posición (x_a(t),y_a(t),z_a(t)), con z_a(t) constante, sometido a las fuerzas:

  1. F_1 = -m_ag, la fuerza de la gravedad, con g constante.
  2. F_2, la fuerza elática de la suspensión, de sentido opuesta a la posición del péndulo y de magnitud k_1d, con k_1 > 0 y d la variación de la longitud del péndulo respecto de su longitud en reposo l.
  3. F_3, la fuerza de fricción, con sentido opuesta a la velocidad del péndulo y magnitud k_2v, con v = \sqrt{(x_a')^2+(y_a')^2} y k_2 > 0.

La ley de Newton F = ma queda, para cada uno de los péndulos, es decir, para cada partícula, como el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden:

m_a \begin{bmatrix} x_a''(t) \\ y_a''(t) \end{bmatrix} = F_1 + F_2 + F_3

que es:

m_ax_a'' = -k_1 (1-\frac{l}{\sqrt{x_a^2+y_a^2}})x_a - k_2\frac{x'_a}{\sqrt{x_a'^2+y_a'^2}}

m_ay_a'' = -k_1 (1-\frac{l}{\sqrt{x_a^2+y_a^2}})y_a - k_2\frac{y'_a}{\sqrt{x_a'^2+y_a'^2}}

Podemos expresar este sistema como un sistemad de ecuaciones de primer orden introduciendo incongnitas adicionales: u_a = x_a' y v_a = y_a', con lo que nos queda:

\left \{  \begin{array}{rcl}  x_a' &=& u_a \\  y_a' &=& v_a \\  m_au_a' & = & k_1 (\frac{l}{\sqrt{x_a^2+y_a^2}}-1)x_a - k_2\frac{u_a}{\sqrt{u_a^2+v_a^2}} \\  m_av_a' & = & k_1 (\frac{l}{\sqrt{x_a^2+y_a^2}}-1)y_a - k_2\frac{v_a}{\sqrt{u_a^2+v_a^2}} - m_ag \\  \end{array}  \right .

En la siguiente simulación tomamos m_a aleatoria para cada partícula a, por lo que tendremos que resolver el sistema de EDOs numéricamente para cada una de ellas. Además, tendremos l=1, k_1 = 10000 y k_2=1 en todos los péndulos. Cada uno de éstos se distribuye a lo largo de una espilar cilíndrica y las velocidades iniciales son, para todas ellas, u_{a_0}=0, v_{a_0} = -0.7 y v_{z_0} = 0. El intervalo de tiempo es desde t_i = 0 hasta t_f=10 que se divide en 400 subintervalos.

El resultado es el siguiente:

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