Como ya comentamos, de la tesis de Bauswein, adoptando la foliación 3+1 del espacio-tiempo la métrica queda:

ds^2 = (- \alpha^2 + \beta_i \beta^i) dt^2 + 2 \beta_i dx^i dt + \gamma_{ij} dx^i dx^j

En la aproximación CFC resolvemos repetidamente el problema de valor inicial. De acuerdo con esta aproximación, la parte espacial de la métrica se puede escribir como:

\gamma_{ij} = \psi^4 \delta_{ij}

donde \psi es el factor conforme (una transformación conforme preserva los ángulos. En geometría Riemanniana, dos métricas de Riemann g y h sobre una variedad M son conformemente equivalentes si g=uh para alguna función positiva u sobre M. La función u es el factor conforme).

De esta manera, las ecuaciones de Einstein, asumiendo K := tr(K_{ij}) = K_i^i =0, se reducen al sistema de cinco PDE elipticas no lineales acopladas:

\Delta \psi = -2 \pi \psi^5 E - \frac{1}{8} \psi^5 K_{ij}K^{ij}

\Delta(\alpha \psi) = 2 \pi \alpha \psi^5 (E + 2S) + \frac{7}{8} \alpha \psi^5 K_{ij}K^{ij}

\Delta \beta^i + \frac{1}{3}\partial^i \partial_j \beta^j = 16 \pi \alpha \rho W + 2 \psi^{10} K^{ij} \partial_j (\frac{\alpha}{\psi^6}) =: S_\beta

donde E = \rho h W^2 - P, S = \rho h (W^2 -1) + 3P y

K_{ij} = \frac{\psi^4}{2 \alpha} (\delta_{il} \partial_j \beta_l + \delta_{jl} \partial_i \beta^l - \frac{2}{3} \delta_{ij} \partial_k \beta^k )

que podemos escribir de manera mas compacta como:

\Delta B^i = S_\beta

\Delta \chi = \partial_i B^i

si definimos \beta^i = B^i - \frac{1}{4} \partial_i \chi y que es un sistema tipo Poisson que puede ser resuelto iterativamente hasta la convergencia con un método multigrid.

Las condiciones en la frontera se dan mediante desarrollo multipolar () de los terminos fuente, que son no compactas, hasta el armónico quadrupolar.

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