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Discretization of the HD, SHD and GHD equations in its Lagrangian form.

We try to write the formulas in its most general form and fix

First of all, in the simplest form of the HD equations we have

$\frac{d\boldsymbol{v}_a}{dt} = -\sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{P_b}{\rho_b^2}) \nabla_a W_{ab}$ (momentum)

where:

$\rho_a = \sum_b m_b W_{ab}$ (density),

$\frac{de_a}{dt} = \frac{1}{2} \sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{P_b}{\rho_b^2}) \boldsymbol{v}_{ab} \cdot \nabla_a W_{ab}$ (density energy),

$P_a$ and $P_b$

are obtained from the EoS and $\frac{d\boldsymbol{r}_a}{dt} = \boldsymbol{v}_a$ .

In SHD we have:

$d$

Finally, the GHD equations are:

$d$

A continuación se muestra el fragmento de código de la app RadSol que resuelve por radicales la ecuación cuártica (pulsar para ampliar):

La idea, como se puede apreciar en el código, es que resuelve una ecuación cuadrática en la que aparece la solución real de la cúbica resolvente.

Para la resolvente, dada la ecuación de tercer grado $x^3 + bx^2 + cx+d = 0$ , la fórmula de las soluciones es:

$-\frac{b}{3}+\frac{t}{3}+\frac{b^2-3c}{3t}$ con $t = E^{\frac{1}{3}}$

$E=\frac{9bc - 2b^3 -27d + \sqrt{D}}{2}$ y $D = (9bc -2b^3-27d)^2 + 4(3c-b^2)^3$