En palabra de Terry Tao:


En la física, el espacio de fases es un concepto que unifica la mecánica clásica (Hamiltoniana) con la mecánica cuántica; en matemáticas, el espacio de fases es un concepto que unifica la geometría simpléctica con el análisis armónico y las PDE.

En mecánica clásica, el espacio de fases es el espacio de todas las posibles configuraciones de un sistema: no solo las posiciones q de todos los objetos del sistema, sino también sus momentos p. Matemáticamente, el espacio de configuraciones puede definirse como una variedad M de manera que, para cada posicion q \in M, los momentos p toman valores en el espacio  cotangente T_q^*M. De esta manera, el espacio de fases puede verse de manera natural como el fibrado cotangente:

T^*M:=\bigsqcup_{q \in M} T_q^*M,

y, como ya vimos en ese mismo post, si \dim M = n entonces \dim T^*M = \dim TM = 2n, es decir, que el espacio de fases siempre va a tener dimensión par.

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