Vamos a suponer que estamos en dimensión n y miraremos como quedan los diferentes kernels y sus derivadas. Denotaremos con \boldsymbol{q} a (q_1,\ldots,q_n) y q = \sqrt{\sum_{i=1}^n q_i^2} será su módulo.

Para poder hablar de las derivadas parciales en espacios de esta dimensión vamos a introducir la notación multi-índice de Schwartz. Un multi-índice de dimensión n es una n-tupla de enteros no negativos \alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) con \alpha_j \in \mathbb{Z}_+ para j= 1\ldots n, de manera que \alpha \in \mathbb{Z}_+^n. Llamamos  módulo de \alpha a:

|\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i

Además, podemos definir

\alpha + \beta := (\alpha_1 + \beta_1, \ldots ,\alpha_n + \beta_n)

y

q^\alpha:=\Pi_{i=1}^n q_i^{\alpha_i}.

Finalmente, definimos el operador diferencial para \alpha \in \mathbb{Z}_+^n como:

D^\alpha:=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial q_1^{\alpha_1} \partial q_2^{\alpha_2} \ldots \partial q_n^{\alpha_n}}

kernel Gaussiano:

W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n} e^{-(\frac{q}{h})^2}

\frac{\partial}{\partial q_j}W(\boldsymbol{q},h) = D^{e_j}W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n}\frac{-2}{h^2} e^{-(\frac{q}{h})^2}q_j

\frac{\partial^2}{\partial q_j \partial q_k}W(\boldsymbol{q},h)=D^{e_j+e_k}W= \frac{\sigma}{h^n}(\frac{-2}{h^2})^2 e^{-(\frac{q}{h})^2} q^{e_j+e_k}=\frac{\sigma}{h^n}(\frac{-2}{h^2})^2 e^{-(\frac{q}{h})^2}q_jq_k

D^\alpha W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n}(\frac{-2}{h^2})^{|\alpha|} e^{-(\frac{q}{h})^2}q^\alpha

kernel cúbico:

W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n} \begin{cases} \frac{1}{4}(2-q)^3-(1-q)^3 \mbox{ si } 0 \leq q < 1 \\ \frac{1}{4}(2-q)^3 \mbox{ si } 1 \leq q < 2 \\ 0 \mbox{ si } q \geq 2 \end{cases}

Recordemos que q = \sqrt{ \sum_{i=1}^n q_i^2 }, por lo que \frac{\partial}{\partial q_j}q = \frac{2 q_j}{2 \sqrt{\sum_{i=1}^{n} q_i^2}} = \frac{q_j}{q}. Así pues:

\frac{\partial}{\partial q_j}W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n}(-1)\frac{3}{q} q_j \begin{cases} \frac{1}{4}(2-q)^2-(1-q)^2 \mbox{ si } 0 \leq q < 1 \\ \frac{1}{4}(2-q)^2 \mbox{ si } 1 \leq q < 2 \\ 0 \mbox{ si } q \geq 2 \end{cases}

\frac{\partial^2}{\partial q_j \partial q_k}W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n}\frac{3.2}{q^2} q_j q_k \begin{cases} \frac{1}{4}(2-q)-(1-q) \mbox{ si } 0 \leq q < 1 \\ \frac{1}{4}(2-q) \mbox{ si } 1 \leq q < 2 \\ 0 \mbox{ si } q \geq 2 \end{cases}

\frac{\partial^3}{\partial q_j \partial q_k \partial q_l}W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n}(-1)\frac{3.2.1}{q^3} q_j q_k q_l \begin{cases} \frac{1}{4}-1 \mbox{ si } 0 \leq q < 1 \\ \frac{1}{4} \mbox{ si } 1 \leq q < 2 \\ 0 \mbox{ si } q \geq 2 \end{cases}

Por lo tanto, para 0 \leq |\alpha| \leq 3 (si |\alpha|>3 entonces W \equiv 0) podemos escribir:

D^\alpha W(\boldsymbol{q},h) =

=\frac{\sigma}{h^n}(-1)^{|\alpha|}\frac{\frac{3!}{(3-|\alpha|)!}}{q^{|\alpha|}} q^\alpha \begin{cases} \frac{1}{4}(2-q)^{3-|\alpha|}-(1-q)^{3-|\alpha|} \mbox{ si } 0 \leq q < 1 \\ \frac{1}{4}(2-q)^{3-|\alpha|} \mbox{ si } 1 \leq q < 2 \\ 0 \mbox{ si } q \geq 2 \end{cases}

kernel cuártico:

 W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n} \begin{cases} (\frac{5}{2}-q)^4-5(\frac{3}{2}-q)^4+10(\frac{1}{2}-q)^4 \mbox{ si } 0 \leq q < \frac{1}{2} \\ (\frac{5}{2}-q)^4-5(\frac{3}{2}-q)^4 \mbox{ si } \frac{1}{2} \leq q < \frac{3}{2} \\ (\frac{5}{2}-q)^4 \mbox{ si } \frac{3}{2} \leq q < \frac{5}{2} \\ 0 \mbox{ si } q \geq \frac{5}{2} \end{cases}

Por tanto, para |\alpha| = 0 \ldots 4:

D^\alpha W(\boldsymbol{q},h) =

=\frac{\sigma}{h^n}(-1)^{|\alpha|}\frac{\frac{4!}{(4-|\alpha|)!}}{q^{|\alpha|}} q^\alpha \begin{cases} (\frac{5}{2}-q)^{4-|\alpha|}-5(\frac{3}{2}-q)^{4-|\alpha|}+10(\frac{1}{2}-q)^{4-|\alpha|} \mbox{ si } 0 \leq q < \frac{1}{2} \\ (\frac{5}{2}-q)^{4-|\alpha|}-5(\frac{3}{2}-q)^{4-|\alpha|} \mbox{ si } \frac{1}{2} \leq q < \frac{3}{2} \\ (\frac{5}{2}-q)^{4-|\alpha|} \mbox{ si } \frac{3}{2} \leq q < \frac{5}{2} \\ 0 \mbox{ si } q \geq \frac{5}{2} \end{cases}

kernel quíntico:

W(\boldsymbol{q},h) = \frac{\sigma}{h^n} \begin{cases} (3-q)^5-6(2-q)^5+15(1-q)^5 \mbox{ si } 0 \leq q < 1 \\ (3-q)^5-6(2-q)^5 \mbox{ si } 1 \leq q < 2 \\ (3-q)^5 \mbox{ si } 2 \leq q < 3 \\ 0 \mbox{ si } q \geq 3 \end{cases}

Por tanto, para |\alpha| = 0 \ldots 5:

D^\alpha W(\boldsymbol{q},h) =

=\frac{\sigma}{h^n}(-1)^{|\alpha|}\frac{\frac{5!}{(5-|\alpha|)!}}{q^{|\alpha|}} q^\alpha \begin{cases} (3-q)^{5-|\alpha|}-6(2-q)^{5-|\alpha|}+15(1-q)^{5-|\alpha|} \mbox{ si } 0 \leq q < 1 \\ (3-q)^{5-|\alpha|}-6(2-q)^{5-|\alpha|} \mbox{ si } 1 \leq q < 2 \\ (3-q)^{5-|\alpha|} \mbox{ si } 2 \leq q < 3 \\ 0 \mbox{ si } q \geq 3 \end{cases}

Anuncios