Ya vimos que la discretización de las ecuaciones de conservación en forma Lagrangiana para SPH quedaba:

\frac{d}{dt}\boldsymbol{v}_a = - \sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{P_b}{\rho_b^2}) \nabla_a W{ab} = \boldsymbol{F}_a

\frac{d}{dt} e_a = \frac{1}{2} \sum_b m_b (\frac{P_a}{\rho_a^2} + \frac{P_b}{\rho_b^2}) \boldsymbol{v}_{ab}\cdot \nabla_a W{ab} = E_a

con \rho_a = \sum_b m_b W_{ab} y P_a de las EoS.

Para pensar en terminos de ODE solvers, nos fijamos solo en:

\frac{d}{dt} \boldsymbol{v}_a = \boldsymbol{F}_a(t,\boldsymbol{v}_a)

\frac{d}{dt} e_a = E_a(t,e_a)

\frac{d}{dt} \boldsymbol{r}_a = \boldsymbol{v}_a(t,\boldsymbol{r}_a)

Para simplificar, suponiendo como metodo explicito un Euler para el predictor y el método del trapecio como implícito para el corrector, tendriamos:

\boldsymbol{\tilde{v}}_a^{n+1} = \boldsymbol{v}_a^{n} + h \boldsymbol{F}_a(t^n,\boldsymbol{v}_a^{n})

\tilde{e}_a^{n+1} = e_a^{n} + h E_a(t^n,e_a^{n})

\boldsymbol{\tilde{r}}_a^{n+1} = \boldsymbol{r}_a^{n} + h \boldsymbol{v}_a(t^n,\boldsymbol{r}_a^{n})

para la primera y:

\boldsymbol{v}_a^{n+1} = \boldsymbol{v}_a^n + \frac{1}{2}h(\boldsymbol{F}_a(t^n,\boldsymbol{v}_a^n)+\boldsymbol{F}_a(t^{n+1},\boldsymbol{\tilde{v}}_a^{n+1}))

e_a^{n+1} = e_a^n + \frac{1}{2}h(E_a(t^n,e_a^n)+E_a(t^{n+1},\tilde{e}_a^{n+1}))

\boldsymbol{r}_a^{n+1} = \boldsymbol{r}_a^n + \frac{1}{2}h(\boldsymbol{v}_a(t^n,\boldsymbol{r}_a^n)+\boldsymbol{v}_a(t^{n+1},\boldsymbol{\tilde{r}}_a^{n+1}))

para la segunda.

De esta manera, sustituyendo, tenemos:

\boldsymbol{\tilde{v}}_a^{n+1} = \boldsymbol{v}_a^n + h \boldsymbol{F}_a(t^n,\boldsymbol{v}_a^{n}) =

= \boldsymbol{v}_a^n - h \sum_b m_b (\frac{P_a^n}{(\rho_a^n)^2} + \frac{P_b^n}{(\rho_b^n)^2}) \nabla_a W(\boldsymbol{r}_a^n-\boldsymbol{r}_b^n,h)

Anuncios