You are currently browsing the monthly archive for diciembre 2012.

Elementos determinantes en multigrid son los esquemas de relajación y de transferencia entre mallas: restricciones y interpolaciones.

Restricciones:

Interpolaciones:

 

Anuncios

Queremos resolver el sistema Au =f. Multigrid utiliza métodos iterativos para su resolución, por lo que necesita de un aproximación inicial de la solución. Sin embargo, asegurada la convergencia del método, la aproximación inicial puede ser cualquier valor y solo determina la velocidad de convergencia (mayor cuanto mejor sea ésta).

La idea inicial es utilizar una estrategia que utiliza mallas mas gruesas para determinar un valor inicial para la siguiente malla mas fina, de manera que tendriamos algo asi como (denotamos con \Omega^{h} a una malla con un tamaño de intervalo h):

  • Relajación sobre A\boldsymbol{u} =\boldsymbol{ f} en una malla muy gruesa para determinar una primera aproximación para la siguiente malla mas fina.
  • Relajación sobre A\boldsymbol{u} =\boldsymbol{ f} en la malla \Omega^{4h} para obtener un valor inicial para la malla \Omega^{2h}.
  • Relajación sobre A\boldsymbol{u} =\boldsymbol{ f} en la malla \Omega^{2h} para obtener un valor inicial para la malla \Omega^{h}.
  • Relajación sobre A\boldsymbol{u} =\boldsymbol{ f} en la malla \Omega^{h} para obtener la solución final.

Esta es la aproximación por iteraciones anidadas, la mas sencilla. El principal problema es saber cuanto hemos de relajar en cada malla, pues hay que llegar a la última iteración de manera que, al terminar, el error sea del tipo apropiado. Puesto que sabemos que los métodos iterativos sufren en presencia de errores suaves, hay aprovechar esto para saltar de malla.

Una segunda idea incorpora la idea de utilizar la ecuación residual, A\boldsymbol{e} = \boldsymbol{r} = \boldsymbol{f} - A\boldsymbol{v}, para relajar sobre el error:

  • Relajación sobre A\boldsymbol{u} =\boldsymbol{ f} en la malla \Omega^{h} para obtener una aproximación de \boldsymbol{v}^h.
  • Calcular $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{f} – A\boldsymbol{v}$.

La

diciembre 2012
L M X J V S D
« Nov   Ene »
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31