A ver si nos aclaramos sobre como van las condiciones frontera en las transiciones entre mallas…

Empezamos en 1D. Tenemos \Delta u = f, o lo que es lo mismo, u_{xx} = f (en este caso es una ODE pero bueno…) definida en [a,b] con u(a) = u_a y u(b) = u_b. Vamos a suponer una discretización en una malla con n+1 nodos con u_i con i=1..(n-1) puntos interiores y u_0 = u_a y u_n = u_b. En la discretización tenemos:

\frac{u_{i-1} -2u_i + u_{i+1}}{h^2} = f_i donde h = \frac{1}{n}.

Si escribimos todas las ecuaciones para todos los puntos interiores (si n=8 entonces i=1..7) tenemos :

\frac{u_0 -2u_1 + u_2}{h^2} = f_1 para i=1,

\frac{u_1 -2u_2 + u_3}{h^2} = f_2 para i=2,

\frac{u_2 -2u_3 + u_4}{h^2} = f_3 para i=3,

\frac{u_3 -2u_4 + u_5}{h^2} = f_4 para i=4,

\frac{u_4 -2u_5 + u_6}{h^2} = f_5 para i=5,

\frac{u_5 -2u_6 + u_7}{h^2} = f_6 para i=6,

\frac{u_6 -2u_7 + u_8}{h^2} = f_7 para i=7,

que en forma matricial y despejando u_0 y u_8 que son conocidos queda:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \\u_7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1 - \frac{u_0}{h^2} \\ f_2 \\ f_3 \\f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 - \frac{u_8}{h^2}\end{bmatrix}.

Cuando pasamos a una malla de n=4 tenemos que la matriz es 3 \times 3 y tiene la misma estructura pero con \frac{1}{(2h)^2}. En este caso, si restringimos la \vec{f}  nos queda:

\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 - \frac{u_0}{h^2} \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 - \frac{u_8}{h^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{f_1 - \frac{u_0}{h^2} +2 f_2 + f_3}{4} \\ \frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \\ \frac{f_5 + 2 f_6 + f7 - \frac{u_8}{h^2}}{4}\end{bmatrix}.

¿Qué pasa en este caso si restringimos por separado las fuentes y los valores en la frontera? Por un lado tenemos:

\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{f_1 +2 f_2 + f_3}{4} \\ \frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \\ \frac{f_5 + 2 f_6 + f7 }{4}\end{bmatrix},

y por otro, como u_0 y u_8 no cambian, al despejar nos quedan -\frac{u_0}{(2h)^2} y -\frac{u_8}{(2h)^2}, por lo que tenemos:

\begin{bmatrix} \frac{f_1 +2 f_2 + f_3}{4} - \frac{u_0}{(2h)^2} \\ \frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \\ \frac{f_5 + 2 f_6 + f7 }{4} - \frac{u_8}{(2h)^2} \end{bmatrix},

que es equivalente a lo encontrado anteriormente.

¿Que pasará en 2D? Vamos a verlo. Tenemos ahora:

\Delta u = f

como:

\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} u(x,y) = f(x.y).

Suponemos n=8. Por un lado tenemos que las fuentes menos las fronteras nos da:

\begin{bmatrix} f_{1,1}-\frac{u_{1,0}+u_{0,1}}{h^2} & f_{1,2}-\frac{u_{0,2}}{h^2} & f_{1,3}-\frac{u_{0,3}}{h^2} & f_{1,4}-\frac{u_{0,4}}{h^2} & f_{1,5}-\frac{u_{0,5}}{h^2} & f_{1,6}-\frac{u_{0,6}}{h^2} & f_{1,7}-\frac{u_{1,8}+u_{0,7}}{h^2} \\ f_{2,1}-\frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} & f_{2,4} & f_{2,5} & f_{2,6} & f_{2,7}-\frac{u_{2,8}}{h^2} \\ f_{3,1}-\frac{u_{3,0}}{h^2} & f_{3,2} & f_{3,3} & f_{3,4} & f_{3,5} & f_{3,6} & f_{3,7}-\frac{u_{3,8}}{h^2} \\ f_{4,1}-\frac{u_{4,0}}{h^2} & f_{4,2} & f_{4,3} & f_{4,4} & f_{4,5} & f_{4,6} & f_{4,7}-\frac{u_{4,8}}{h^2} \\ f_{5,1}-\frac{u_{5,0}}{h^2} & f_{5,2} & f_{5,3} & f_{5,4} & f_{5,5} & f_{5,6} & f_{5,7}-\frac{u_{5,8}}{h^2} \\ f_{6,1}-\frac{u_{6,0}}{h^2} & f_{6,2} & f_{6,3} & f_{6,4} & f_{6,5} & f_{6,6} & f_{6,7}-\frac{u_{6,8}}{h^2} \\ f_{7,1}-\frac{u_{7,0}+u_{8,1}}{h^2} & f_{7,2}-\frac{u_{8,2}}{h^2} & f_{7,3}-\frac{u_{8,3}}{h^2} & f_{7,4}-\frac{u_{8,4}}{h^2} & f_{7,5}-\frac{u_{8,5}}{h^2} & f_{7,6}-\frac{u_{8,6}}{h^2} & f_{7,7}-\frac{u_{8,7}+u_{7,8}}{h^2} \end{bmatrix}.

Vamos a calcular uno a uno los elementos de la nueva malla mediante los dos métodos (restricción directa sobre la matriz anterior o restricción sobre las fronteras)  ya que con que salga alguno distinto ya podremos concluir su no equivalencia. Empezamos:

\frac{u_{1,2}^{2h}+u_{2,1}^{2h}-4u_{1,1}^{2h}}{(2h)^2} = \frac{1}{16} [ f_{1,1}-\frac{u_{1,0}+u_{0,1}}{h^2}+f_{1,3}-\frac{u_{0,3}}{h^2}+f_{3,1}-\frac{u_{3,0}}{h^2}+f_{3,3} +

+ 2(f_{1,2}-\frac{u_{0,2}}{h^2} + f_{2,1}-\frac{u_{2,0}}{h^2} +f_{2,3} + f_{4,2} ) + 4 f_{2,2} ]

Si primero aplicamos la restricción a las fronteras nos quedan:

\begin{bmatrix} \frac{u_{0,1} + 2u_{0,2} + u_{0,3}}{4} & \frac{u_{0,3} + 2u_{0,4} + u_{0,5}}{4} & \frac{u_{0,5} + 2u_{0,6} + u_{0,7}}{4} \end{bmatrix},

\begin{bmatrix} \frac{u_{1,0} + 2u_{2,0} + u_{3,0}}{4} \\ \frac{u_{3,0} + 2u_{4,0} + u_{5,0}}{4} \\ \frac{u_{5,0} + 2u_{6,0} + u_{7,0}}{4} \end{bmatrix} \,\,\,\,\,\,\, \begin{bmatrix} \frac{u_{1,8} + 2u_{2,8} + u_{3,8}}{4} \\ \frac{u_{3,8} + 2u_{4,8} + u_{5,8}}{4} \\ \frac{u_{5,8} + 2u_{6,8} + u_{7,8}}{4} \end{bmatrix}

\frac{1}{4}\begin{bmatrix} u_{8,1} + 2u_{8,2} + u_{8,3} & u_{8,3} + 2u_{8,4} + u_{8,5} & u_{8,5} + 2u_{8,6} + u_{8,7} \end{bmatrix},

y al calcular el primer término:

\frac{1}{16} [ f_{1,1} + f_{1,3} + f_{3,1} + f_{3,3} + 2(f_{1,2} + f_{2,1} + f_{2,3} + f_{4,2}) + 4 f_{2,2} ]

que combinado con las fronteras, tenemos:

\frac{u_{1,2}^{2h}+u_{2,1}^{2h}-4u_{1,1}^{2h}}{(2h)^2} = \frac{1}{16} [ f_{1,1} + f_{1,3} + f_{3,1} + f_{3,3} +

+ 2(f_{1,2} + f_{2,1} + f_{2,3} + f_{4,2}) + 4 f_{2,2} ] -

- \frac{1}{4}\frac{u_{0,1} + 2u_{0,2} + u_{0,3} + u_{1,0} + 2u_{2,0} + u_{3,0}}{(2h)^2}

y que es lo mismo que habíamos obtenido…

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