En el post anterior hablamos sobre condiciones de frontera y su transferencia entre mallas pero no comentamos en el caso de que las condición haga referencia al valor de la derivada y no al de la función: condición de Neumann.

En 1D supongamos que ahora tenemos \frac{\partial^2}{\partial x^2}u = f en [a,b] con u(a)=u_a pero \frac{\partial}{\partial x} = du_b. Suponiendo de nuevo n=8, las ecuaciones nos quedan:

\frac{u_0 -2u_1 + u_2}{h^2} = f_1 para i=1,

\frac{u_1 -2u_2 + u_3}{h^2} = f_2 para i=2,

\frac{u_2 -2u_3 + u_4}{h^2} = f_3 para i=3,

\frac{u_3 -2u_4 + u_5}{h^2} = f_4 para i=4,

\frac{u_4 -2u_5 + u_6}{h^2} = f_5 para i=5,

\frac{u_5 -2u_6 + u_7}{h^2} = f_6 para i=6,

\frac{u_6 -2u_7 + u_8}{h^2} = f_7 para i=7,

La única diferencia con respecto al caso anterior es que, en la primera ecuación, desconocemos el valor de u_0 pero  conocemos el de su primera derivada. Sabemos que:

\frac{u_1 - u_{-1}}{2h} = \frac{d}{dx}u_{0} = du_0,

que, despejando, nos da:

u_1 - u_{-1} = 2h \, du_0 \Leftrightarrow u_{-1} = u_1 - 2h \, du_0,

Como tenemos una incognita mas por determinar, añadimos una nueva ecuación:

\frac{u_{-1} -2u_0 + u_1}{h^2} = f_0 para i=0,

donde reescribimos el valor de u_{-1} según acabamos de determinar:

\frac{ u_1 - 2h \, du_0 -2u_0 + u_1}{h^2} = \frac{ -2u_0 + 2u_1 - 2h \, du_0}{h^2} = f_0.

Por lo tanto,  en forma matricial tenemos:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_0 \\ u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \\u_7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} (f_0 + \frac{2h \, du_0}{h^2}) \\ f_1 \\ f_2 \\ f_3 \\f_4 \\ f_5 \\ f_6 \\ f_7 - \frac{u_8}{h^2}\end{bmatrix}.

De la misma manera, en el caso por el otro extremo, llegariamos a:

\frac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6 \\ u_7 \\u_8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ f_1 - \frac{u_0}{h^2} \\ f_2 \\ f_3 \\ f_4 \\f_5 \\ f_6 \\ f_7 \\ \frac{1}{2}(f_8 + \frac{2h \, du_8}{h^2})\end{bmatrix}.

En resumen, básicamente hay que hacer dos trabajos: en primer lugar, construir el termino independiente de manera apropiada para incorporar la información de las fronteras; en segundo, llegados a los extremos, escoger entre -2 y -1 en la diagonal en función de si es Dirichlet o Neumann.

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