Suponemos \Delta u = f en 2D, es decir,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y) = f(x,y).

Miraremos como queda la matriz del sistema al discretizar, como simetrizarla y su rango en tres casos: condición Neuman respecto x en una frontera, condición Neumann respecto y en una frontera y condición Neumann respecto x e y en dos fronteras.

Discretizamos con n=5. Si todas las condiciones fueran Dirichlet, la matriz quedaría:

A_1 = \left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc}  -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right) .

En este caso, A_1 \in \mathcal{M}(9 \times 9) y simétrica, lo que permite tratar de manera conjunta los problemas de existencia y unicidad de solución. Si calculamos su rango obtenemos 9 por lo que existe solución y es única. Desde el punto de vista algebraico, es el punto (u_{1,1},u_{1,2},u_{1,3},u_{2,1},u_{2,2},u_{2,3},u_{3,1},u_{3,2},u_{3,3}) intersección de 9 hiperplanos

-4x_{1,1} + x_{1,2} + x_{2,1} = f_{1,1},

x_{1,1}-4x_{1,2}+x_{1,3} + x_{2,2} = f_{1,2},

\ldots

en el espacio \mathbb{R}^9.

Si condiremos conocidos \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u en lugar de u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3} (u_{0,0} y u_{0,4} son conocidos por las otras fronteras que son Dirichelt), tenemos:

A_2 = \left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}  -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

de manera que A_2 \in \mathcal{M}(12 \times 12) y no es simétrica. Sin embargo es facilmente simetrizable dividiendo las tres primera filas (hacemos lo mismo en el termino independiente) por 2:

A_2 = \left(  \begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}  -2 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

Tenemos 12 incognitas (u_{i,j} con i=0..3 y j=1..3) y el rango de A_2 es 12, por lo que la solución, nuevamente, es única.

Para el caso en el que conocemos \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{2,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{3,0}u en lugar de u_{1,0}, u_{2,0}, u_{3,0}, si el orden que tomamos es el contrario al tomado anteriormente llegaremos a la misma estructura de antes. Sin embargo, como en el siguiente caso nos veremos obligados a seleccionar uno de los dos, vamos a ver como queda este caso utilizando el mismo orden que antes:

A_3 = \left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc}  -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

que podemos simetrizar facilmente y queda:

A_3 = \left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc}  -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right)

Tenemos 12 ecuaciones con 12 incognitas (u_{i,j} con i=1..3 y j=0..3) y el rango de A_3 es 12, por lo que la solución es única.

Finalmente, suponemos conocidos \frac{\partial}{\partial x}|_{0,0}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,1}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,2}u, \frac{\partial}{\partial x}|_{0,3}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{0,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{1,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{2,0}u, \frac{\partial}{\partial y}|_{3,0}u que incorpora 7 ecuaciones mas a las 9 que ya teniamos por lo que nos queda una matrix A_4 \in \mathcal{M}(16 \times 16):

\left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}  -4 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right),

simetrizable dividiendo la fila correspondiente a u_{0,0} por 4, y las correspondientes a u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}, u_{1,0},u_{2,0}, u_{3,0}  por 2, quedando:

\left(  \begin{array}{cccc|cccc|cccc|cccc}  -1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{2} & -2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & \frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4  \end{array}  \right),

con lo que el sistema vuelve a ser compatible y determinado.

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