08 | febrero | 2013 | Adsu's Blog

Aunque siempre podemos hacer cambios de coordenadas, vamos a ver como quedan los esquemas de diferencias finitas en sistemas no rectangulares: coordenadas cilíndricas, $(\rho,\phi, z)$ , y coordenadas esféricas, $(r,\theta,\phi)$ . Nos centraremos en la ecuación de Poisson aunque la técnica se puede extender de manera inmediata a cualquier tipo de PDE.

En coordenadas cilíndricas podemos escribir:

$\nabla \cdot \nabla u = \frac{\partial^2}{\partial \rho^2}u + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}u + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}u + \frac{\partial^2}{\partial z^2} u = f$ ,

que podemos discretizar como:

$\frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{(\Delta \rho)^2} +$

$+ \frac{1}{\rho_{i,j,k}}\frac{u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}}{2\Delta \rho} +$

$+ \frac{1}{\rho_{i,j,k}^2} \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{(\Delta \phi)^2} +$

$+ \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{(\Delta z)^2} = f_{i,j,k}$

En coordenadas esféricas tenemos:

$\nabla \cdot \nabla u = \frac{\partial^2}{\partial r^2}u + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}u + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}u + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}u + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}u = f$

que podemos discretizar como:

$\frac{u_{i-1,j,k-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}}{(\Delta r)^2} +$

$+ \frac{2}{r_{i,j,k}} \frac{u_{i+1,j,k}+u_{i-1,j,k}}{2\Delta r} +$

$+ \frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{(r_{i,j,k} \Delta \theta)^2} +$

$+ \frac{1}{r_{i,j,k}^2 \sin \phi_{i,j,k}} \frac{u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}}{2 \Delta \phi} +$

$+ \frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{(r_{i,j,k} \sin \phi_{i,j,k} \Delta \phi)^2} = f_{i,j,k}$

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Diferencias finitas en sistemas no rectangulares para ecuaciones elípticas.

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