Una manera sencilla de tener una ecuación de Poisson en 3D de la que conocer su solución analítica es la siguiente. Para empezar, consideramos una función:

u(x,y,z)

a la que le aplicamos el operador \Delta y obtendremos otra función:

s(x,y,z).

Ya tenemos \Delta u = s, es decir,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z) = s(x,y,z)

Para las condiciones de contorno es tan sencillo como considerar el domino:

[a,b] \times [c,d] \times [e,f]

y ver cuanto vale u en cada uno de los extremos, de manera que obtenemos:

u(a,y,z) = g_a(y,z), u(b,y,z) = g_b(y,z),

u(x,c,z) = g_c(x,z), u(x,d,z) = g_d(x,z),

u(x,y,e) = g_e(x,y), u(x,y,f) = g_f(x,y).

Por ejemplo, si consideramos u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, entonces:

\nabla \cdot \nabla u = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) \cdot (u_x,u_y,u_z)

de manera que:

\Delta u = \frac{\partial}{\partial x}2x + \frac{\partial}{\partial y}2y + \frac{\partial}{\partial z}2z = 6

y tenemos la ecuación de Poisson \Delta u = 6. Las condiciones de contorno, en \Omega = [0,1]^3 quedan:

u(0,y,z) = g_{xm}(y,z) = y^2+z^2

u(1,y,z) = g_{xM}(y,z) = y^2+z^2 + 1

u(x,0,z) = g_{ym}(x,z) = x^2+z^2

u(x,1,z) = g_{yM}(x,z) = x^2+z^2 + 1

u(x,y,0) = g_{zm}(x,y) = x^2+y^2

u(x,y,1) = g_{zM}(x,y) = x^2+y^2 + 1

Resumiendo, la solución de \Delta u = 6 siendo las funciones anteriores los valores de u en \partial \Omega es:

u = x^2+y^2 + z^2.

Otro ejemplo concreto para el caso de u=0 en \partial \Omega siendo

\Omega = \{ (x,y,z): 0<x<1, 0<y<1,0<z<1\} el cubo unidad.

Tomamos u(x,y,z) = (x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2). Es sencillo comprobar que u=0 en \partial \Omega (p.e. u(1,y,z)=(1-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) = 0). ¿Cuanto vale \Delta u en este caso?

s(x,y,z) = \Delta [(x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2)] =

= \nabla \cdot [(4x^3-2x)(y^4-y^2)(z^4-z^2),

,(x^4-x^2)(4y^3-2y)(z^4-z^2),

(x^4-x^2)(y^4-y^2)(4z^3-2z)] =

= 2[(6x^2-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(6y^2-1)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(y^4-y^2)(6z^2-1)].

De manera que la solución en el cubo unidad de la ecuación de Poisson

u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} =

= 2[(6x^2-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(6y^2-1)(z^4-z^2) +

+ (x^4-x^2)(y^4-y^2)(6z^2-1)]

con condiciones homogeneas de tipo Dirichlet en la frontera tiene como solución:

u(x,y,z) = (x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2)

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