En su Lecture II, Christopher empieza hablando del gradiente \boldsymbol{d}f de un campo escalar f como una 1-forma (transformable en vector subiendo un índice) importante que nos permitirá definir bases de vectores y 1-formas en espacios curvados.

La explicación está bastante clara y lo que hace es traducir lo que nos encontrariamos trabajando con variedades a un lenguaje comprensible para aquellos que aun no las conocen, es decir, existe una manera general de construir la diferencial en un punto de una función con dominio en una variedad y los espacios planos con los que estamos trabajando no son mas que casos particulares de variedades donde las cartas son la identidad (podemos pensar \mathbb{R}^3 como una variedad diferenciable con la carta identidad: (\mathbb{R}^3,id). A partir de ahí podemos construir las variedades tangentes, T_m\mathbb{R}^3 \cong \mathbb{R}^3, y cotangente y en esta última aparece la diferencial como una 1-forma).

El resumen es, sean \alpha(t) una trayectoria y f un campo escalar en el espacio plano considerado, entonces podemos construir una función (f \circ \alpha)(t) = f(\alpha(t)) que, por ser una función de una variable, podemos derivar y evaluar en t=0:

\frac{d}{dt}(f \circ \alpha)(t)|_{t=0},

por lo que podemos escribir:

\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{v}} f := \frac{d}{dt} (f \circ \alpha)(t) = \langle \boldsymbol{d}f, \boldsymbol{v} \rangle

donde \boldsymbol{v} = \frac{d}{dt}\alpha(t) y \boldsymbol{d}f es la 1-forma diferencial o gradiente de f.

En un espacio plano se puede escoger un sistema de referencia en el que las coordenadas x^\alpha son las componentes de vector de posición \boldsymbol{x} = x^\alpha \boldsymbol{e}_\alpha. En este caso:

\langle \boldsymbol{d}(x^\alpha) , \boldsymbol{v} \rangle = \frac{d}{dt}x^\alpha = v^\alpha,

por lo que $latex $, formando una base. Definimos \boldsymbol{d}(x^\alpha) := \boldsymbol{\omega}^\alpha.

Dada una partícula que sigue una trayectoria \boldsymbol{\alpha}(t) = x^{\alpha}(t), podemos parametrizarla mediante el tiempo propio \tau que es aquel que cumple:

|\frac{d}{d\tau}\boldsymbol{\alpha}(\tau)|^2 = \frac{d}{d\tau}x^{\alpha}(\tau) \cdot \frac{d}{d\tau}x^{\alpha}(\tau) = -1.

Siempre podemos reparametrizar haciendo:

\frac{d}{dt}\tau = \sqrt{-\frac{d}{dt}\alpha(t) \cdot \frac{d}{dt}\alpha(t)}.

La idea, desde el punto de vista de curvas sobre variedades, es que la parametrización mediante el tiempo propio no es mas que el equivalente a la parametrización por longitud de arco de manera de manera que nos permita medir la longitud de la misma que en este caso corresponde a medir tiempos (lo del reloj propio y estas cosas).

Para tener un invariante Lorentz de la velocidad \boldsymbol{v} definimos la 4-velocidad \boldsymbol{u} como:

\boldsymbol{u}:=\frac{d}{d\tau}\alpha(\tau),

ya que, como acabamos de ver, por construcción tenemos \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{u} = -1.

Para un objeto con masa m definimos el 4-momento como \boldsymbol{p} = m \boldsymbol{v}, de manera que \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p} = -m^2. La componente temporal p^0 del 4-momento es la energía y las componentes espaciales p^i son los 3-momentos.

Finalmente, si hay fuerzas tenemos aceleraciones. La 4-aceleración \boldsymbol{a} se define como

\boldsymbol{a} = \frac{d}{d\tau}\boldsymbol{v} o a^{\mu} = \frac{d}{d\tau}v^{\mu}.

En variedades generales, para que la aceleración tenga sentido, necesitaremos trabajo extra, pues necesitaremos ser capaces de trasladar paralelamente vectores sobre la variedad.

Para finalizar, nos habla de algunos conceptos mas de algebra tensorial. En primer lugar define un tensor \boldsymbol{T} de tipo \binom{m}{n} como un operador lineal que actua sobre m 1-formas y n vectores y nos devuelve un escalar:

\boldsymbol{T}(\boldsymbol{\tilde{k}},\ldots, \boldsymbol{\tilde{l}}, \boldsymbol{u},\ldots, \boldsymbol{v})

y que, fijada una referencia, queda determinada por su actuación sobre los elementos de esta base:

\boldsymbol{T}(\boldsymbol{w}^{\alpha_1},\ldots,\boldsymbol{w}^{\alpha_m},\boldsymbol{e}_{\beta_1},\ldots,\boldsymbol{e}_{\beta_n}) = T^{\alpha_1,\ldots,\alpha_m}_{\beta_1,\ldots,\beta_n}.

Podemos ver una métrica \boldsymbol{g} como un tensor de tipo \binom{0}{2}, o 2 veces covariante, pues actua sobre 2 vectores y devuelve g_{\alpha \beta}u^{\alpha}v^{\beta}. Podemos pensar una 1-forma \boldsymbol{\tilde{k}} como un tensor de tipo \binom{0}{1}, o 1 vez covariante, pues a partir de un vector \boldsymbol{v} nos devuelve el escalar \langle \boldsymbol{\tilde{k}},\boldsymbol{v}\rangle. Sus componentes son \tilde{k}_{\alpha}. Por el contrario, podemos pensar un vector \boldsymbol{v} como un tensor de tipo \binom{1}{0}, o 1 vez contravariante, pues a partir de una 1-forma \boldsymbol{\tilde{k}} nos devuelve el escalar \langle \boldsymbol{\tilde{k}}, \boldsymbol{v} \rangle. Las componentes de \boldsymbol{v} son v^{\alpha} = \langle \boldsymbol{w}^{\alpha},\boldsymbol{v} \rangle.

Finalmente, es útil recordar que, por una parte, los tensores de tipo \binom{m}{n} no necesitan de las métricas para existir y, por otra, que en el caso de existir, entonces gracias a ésta, todos los tensores de rango m+n son equivalentes entre si, es decir, el mismo tensor lo podemos escribir de 2^{m+n} maneras en función de donde aparece cada índice, si arriba o abajo, contravariante o covariante. Por ejemplo, si T es un tensor de tipo \binom{1}{2} podemos transformalo a uno de tipo \binom{0}{3} de la siguiente manera:

T^{\alpha}_{\beta \gamma} = \boldsymbol{T}(\boldsymbol{w}^{\alpha},\boldsymbol{e}_{\beta},\boldsymbol{e}_{\gamma}) = \boldsymbol{T}(g^{\delta \alpha}\boldsymbol{e}_{\delta},\boldsymbol{e}_{\beta},\boldsymbol{e}_{\gamma}) = g^{\delta \alpha} \boldsymbol{T}(\boldsymbol{e}_\delta,\boldsymbol{e}_\beta,\boldsymbol{e}_\gamma) = g^{\delta \alpha}T_{\delta \beta \gamma}.

Desde la geometria diferencial y Riemanniana, subir y bajar índices equivale a construir el isomorfismo musical, \sharp y \flat ,entre el fibrado tangente TM y el cotangente T^*M de una variedad M inducido por una métrica g. Básicamente son contracciones entre el tensor métrico o el co-tensor métrico con un tensor arbitrario. Permite, por ejemplo, la generalización del gradiente.

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