Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann M conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante k es isométrica a:

  • el Espacio Hiperbólico: \mathbb{H}^n(k) si k<0,
  • el Espacio Euclídeo: \mathbb{R}^n si k=0,
  • la Hipersuperfície Esférica: S^n(k) si k>0.

En particular, cuando la dimensión sea n=2, tenemos las superfícies \mathbb{H}^2(k), trabajaremos con la pseudoesfera, el plano \mathbb{R}^2 y la esfera S^2(k).

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental I \equiv ds^2, la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente \mathbb{R}^3 en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización f es un embedding y si h es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica f^*h en la variedad):

S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),

I(u,v) = E(u,v) du \otimes du + F(u,v) du \otimes dv +

+ F(u,v) dv \otimes du + G(u,v) dv \otimes dv

o, lo que es lo mismo,

ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2

donde

g_{00}=\frac{\partial}{\partial u}S(u,v) \cdot \frac{\partial}{\partial u}S(u,v) = \partial_u S \cdot \partial_u S

g_{01}=g_{10} = \partial_u S \cdot \partial_v S

g_{11} = \partial_v S \cdot \partial_v S.

Si en lugar de u y v trabajamos con u_1 y u_2 entonces podemos escribir

ds^2 = \sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j,

donde al final aplicamos el C \sum E con i=1,2 y j=1,2.

También son sencillas de calcular el vector normal \boldsymbol{n}, la segunda forma fundamental II y la curvatura de Gauss o intrínseca k:

\boldsymbol{n} = \frac{\partial_u S \times \partial_v S}{|| \partial_u S \times \partial_v S||},

II(u,v) = L(u,v) du \otimes du + M(u,v) du \otimes dv +

+ M(u,v) dv \otimes du + N(u,v) dv \otimes dv

o, lo que es lo mismo,

\amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2 o \amalg = b_{ij}du^i du^j

donde

b_{00}=\partial_{uu} \cdot \boldsymbol{n}

b_{01}=b_{10} = \partial_{uv} S \cdot \boldsymbol{n}

b_{11} = \partial_{vv} S \cdot \boldsymbol{n},

k = \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = \frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano \mathbb{R}^2

Utilizamos la parametrización S(u,v)=(u,v,0) con u \in \mathbb{R} y v \in \mathbb{R} (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas  con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

plaR2

g_{00} = \partial_u S \cdot \partial_u S = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1

g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=1

\boldsymbol{n} = (0,0,1)

\partial_{uu} S = \partial_{uv} S = \partial_{vv} S = 0 y, por tanto, b_{ij}=0

k = \frac{0.0 - 0^2}{1.1 - 0^2} = 0.

Esfera S^2(k)

Parametrizamos según indica la figura:

esfera

g_{00} = a^2, g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=a^2 \sin^2 \theta

\boldsymbol{n} = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta)

b_{00} = -a, b_{01} = b_{10} = 0, b_{11}=-a \sin^2 \theta

y, por tanto, k = \frac{-a.-a \sin^2 \theta - 0^2}{a^2.a^2 \sin^2 \theta - 0^2} = \frac{1}{a^2}.

Pseudoesfera \mathbb{H}^2(k)

pseudoesfera

g_{00} = a^2 \cot^2 \theta, g_{01} = g_{10} = 0, g_{11}=a^2 \sin^2 \theta

\boldsymbol{n} = (-|\cos \theta| \cos \varphi, - |\cos \theta| \sin \varphi, sgn(\cos \theta) \sin \theta)

k = -\frac{1}{a^2}.

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de \mathbb{R}^2 para que nos de g_{11} = \theta^2?

plano

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

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