El teorema de Whitney nos dice que toda variedad diferenciable admite una métrica. La idea es sencilla: como toda variedad M admite una inmersión f:M \longrightarrow \mathbb{R}^m en un espacio euclideo de dimensión apropiada m entonces f^*h es una métrica de Riemann en M donde h es la métrica ordinaria de \mathbb{R}^m.

Dada una variedad de Riemann (M,g), siempre podemos construir una conexión \nabla compatible con la métrica, \nabla_g = 0, y libre de torsión, T(\nabla) = 0 a la que llamaremos conexión de Levi-Civita.

¿Cómo es su expresión en coordenadas? La condición \nabla_g = 0 hace que

X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y,Z) + g(Y,\nabla_X Z).

Si la escribimos tres veces permutando los campos X, Y, Z obtenemos:

X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y,Z) + g(Y,\nabla_X Z),

Z(g(X,Y)) = g(\nabla_Z X,Y) + g(X,\nabla_Z Y),

Y(g(Z,X)) = g(\nabla_Y Z,X) + g(Z,\nabla_Y X).

Sumando las dos primeras, restando la última y aplicando que T(\nabla)=0, es decir, que \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y] nos queda:

X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y)) - Y(g(Z,X)) =

= g([X,Y],Z) + g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) + 2g(\nabla_Z X, Y),

por lo que, despejando:

g(\nabla_Z X, Y) =

= \frac{1}{2} \{ X(g(Y,Z)) + Z(g(X,Y) + Y(g(Z,X)) -

- g([X,Y],Z) - g([Z,Y],X) + g([X,Z],Y) )\}.

Si (U,(x^i))  es un abierto de coordenadas de (M,g), veamos la expresión de los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita \nabla. En la expresión anterior hacemos Z = \frac{\partial}{\partial x^i}, X = \frac{\partial}{\partial x^j} y Y = \frac{\partial}{\partial x^r} y como el claudator de Lie para estos campos es cero, nos queda:

g(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^j}, \frac{\partial}{\partial x^r} ) = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial dx^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} + \frac{\partial}{\partial x^j}g_{ij} \} =

es decir:

\Gamma_{ij}^l g_{lr} = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial x^j} g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i} g_{jr} + \frac{\partial}{\partial x^r} g_{ij} \}

y utilizando la matriz inversa g^{ij} de g_{ij} obtenemos:

\Gamma_{ij}^l g_{lr}g^{rk} = \Gamma_{ij}^l \delta_l^k = \Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial dx^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} + \frac{\partial}{\partial x^r}g_{ij} \} g^{rk},

Por lo que los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita se obtienen a partir de la métrica y de sus primeras derivadas.

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