Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es:

\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} g^{rk} \{ \frac{\partial}{\partial x^j}g_{ir} + \frac{\partial}{\partial x^i}g_{jr} - \frac{\partial}{\partial x^r}g_{ij} \}.

Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding:

f: S^2(\frac{1}{a^2}) \longrightarrow \mathbb{R}^3 \,/\, (\theta,\varphi) \mapsto a(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, \sin \theta)

y la métrica inducida medainte el pullback era:

f^*h: a^2 d\theta^2 + a^2 \sin^2 \theta d\varphi^2

Tenemos que calcular:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta}, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta}, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi}

Calculamos, por ejemplo, \Gamma^{1}_{22} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi}:

\Gamma_{\varphi \varphi}^\theta = \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \theta} + \frac{\partial}{\partial \theta}g_{\varphi \varphi} \} g^{\theta \theta} + \frac{1}{2} \{ \frac{\partial}{\partial d\varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} + \frac{\partial}{\partial \varphi}g_{\varphi \varphi} \} g^{\varphi \theta},

que, teniendo en cuenta que las bases son ortogonales, es decir, que métrica es diagonal, queda:

\Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial \theta} g_{\varphi \varphi}) g^{\theta \theta} = -\frac{1}{2 a^2} a^2 \, 2 \sin \theta \cos \theta = - \sin \theta \cos \theta.

Como son cálculos largos y tediosos donde es muy fácil equivocarse, he escrito una pequeña función en Mathematica que nos los calcula:


 Simbolos[] := For[ia = 1, ia <= 2, ia++,
   For[ib = 1, ib <= 2, ib++,
     For[ic = 1, ic <= 2, ic++,
       r = 0;
       For[ii = 1, ii <= 2, ii++,
         r = r + FullSimplify[
                              1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*
                              (D[g[[ii]][[ib]],u[[ic]]] + 
                               D[g[[ii]][[ic]],u[[ib]]] - 
                               D[g[[ib]][[ic]], u[[ii]]])
                 ]
       ];
       Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
     ]
   ]
 ]
 

Para utilizarla, simplemente inicializamos previamente a su llamada una matriz con nombre g de dimensión 2 \times 2 con la métrica (por ejemplo introducimos la de la esfera, las variables sobre las que deriva deben llamarse u_1 y u_2)

g=\{\{a{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

y, a continuación, llamamos a la función Simbolos sin parámetros:

\text{Simbolos}[]

y obtenemos:

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\Gamma^{1}_{22} = \text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Cos}[\text{u1}] \text{Sin}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0

De la misma manera, para la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{a^2}) tenemos:

g=\{\{a{}^{\wedge}2*\text{Cot}[\text{u1}]{}^{\wedge}2,0\},\{0,a{}^{\wedge}2*\text{Sin}[\text{u1}]{}^{\wedge}2\}\}

que nos da, al ejecutar \text{Simbolos}[],

\text{Gamma[}1,1,1\text{] = }-\text{Csc}[\text{u1}] \text{Sec}[\text{u1}]

\text{Gamma[}1,1,2\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,1\text{] = }0

\text{Gamma[}1,2,2\text{] = }-\text{Sin}[\text{u1}]^2 \text{Tan}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,1,1\text{] = }0

\text{Gamma[}2,1,2\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,1\text{] = }\text{Cot}[\text{u1}]

\text{Gamma[}2,2,2\text{] = }0.

Finalmente, si hacemos todos los cálculos finalmente para \mathbb{R}^2 obtenemos que todos los símbolos de Christoffel son 0, de manera que, en este caso, y como era de esperar, la derivación parcial y la derivación covariante coinciden.

Conocidos los símbolos de Christoffel, la derivación covariante de cualquier tensor, por ejemplo T^a_b, queda:

\nabla_c T^a_b = \partial_c T^a_b + \Gamma^a_{dc} T^d_b - \Gamma^d_bc T^a_d,

que corresponde a la parcial a la que sumamos por cada índice covariante del tensor y restamos por cada índice contravariante. En cada caso, lo que se se suma o se resta, proviene del recorrerido sobre el otro índice y el correspondiente del símbolo de Christoffel por el criterio de sumación y fijando el resto.

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