Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular.

El tensor de curvatura de Riemann:

R^{a}_{bcd} = \partial_c \Gamma^{a}_{bd} - \partial_d \Gamma^{a}_{bc} + \Gamma^{a}_{ec} \Gamma^{e}_{bd} - \Gamma^{a}_{ed} \Gamma^{e}_{bc},

el tensor de Ricci:

R_{ab} = R^{c}_{acb} = \partial_c \Gamma^{c}_{bd} - \partial_d \Gamma^{c}_{bc} + \Gamma^{c}_{ec} \Gamma^{e}_{bd} - \Gamma^{c}_{ed} \Gamma^{e}_{bc},

la curvatura escalar:

R = R^{a}_{a}

y el tensor de Weyl:

C_{abcd} = R_{abcd} -

- \frac{1}{2}(g_{ac}R_{bd}-g_{ad}R_{bc}-g_{bc}R_{ad}+g_{bd}R_{ac}) + \frac{1}{6}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) R

Empezamos con la esfera S^2(\frac{1}{r^2}). Recordamos los símbolos de Christoffel que encontramos:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = -\sin \theta \cos \theta,

\Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \cot \theta, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = 0

(Escribir ahora las ecuaciones de las geodésicas es inmediato: una equacion por variable contravariante donde aparece la segunda derivada de esta y un termino para cada símbolo no nulo de la fila con la primera derivada de las variables covariantes:

\begin{cases} \ddot{\theta} - \dot{\varphi}^2 \sin \theta \cos \theta = 0 \\ \ddot{\varphi} + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cot \theta = 0 \end{cases}

que coincide con lo que calculamos en este post de otra manera sin necesidad de los símbolos de Christoffel).

Tenemos cuatro índices y cada uno puede tomar dos valores, pues estamos trabajando con superificies, variedades de dos dimensiones, por lo que tenemos un tensor de con 16 componentes (en el caso de estar trabajando con una variedad de cuatro dimensiones como es espacio-tiempo, el tensor de Riemann tiene 256 componentes..). Aunque existe una serie de propiedades que minimizan el número de componentes de n^4 a \frac{1}{12}n^2(n^2-1) (simetrías, antisimetrías e identidades de Bianchi) vamos a calcularlos todos aquí para practicar.

R^{\theta}_{ \theta \theta \theta} = \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \theta \theta \varphi} = \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \theta \varphi \theta} = \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 0

R^{\theta}_{ \theta \varphi \varphi} = \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 0

R^{\theta}_{ \varphi \theta \theta} = 0

R^{\theta}_{ \varphi \theta \varphi} =

= \partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} + \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \sin^2 \theta

R^{\theta}_{ \varphi \varphi \theta} =

= \partial_\varphi \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} + \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} + \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} - \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} - \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = -\sin^2 \theta

R^{\theta}_{\varphi \varphi \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \theta \theta \theta} = 0

R^{\varphi}_{ \theta \theta \varphi} = \partial_\theta \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} -\partial_\varphi \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} + \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} - \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = -1

R^{\varphi}_{ \theta \varphi \theta} = \partial_\varphi \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} -\partial_\theta \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} + \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} \Gamma^{\theta}_{\theta \theta} + \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} - \Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} - \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = 1

R^{\varphi}_{ \theta \varphi \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \theta \theta} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \theta \varphi} = 0

R^{\varphi}_{ \varphi \varphi \theta} = 0

R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = 0

Continuamos con el tensor de Ricci. Podemos calcularlo a partir de la formula o a partir del tensor de Riemann, que ya lo tenemos. Lo haremos de esta última manera:

R_{\theta \theta} = R^{a}_{\theta a \theta} = R^{\theta}_{\theta \theta \theta} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \theta} = 1

R_{\theta \varphi} = R^{a}_{\theta a \varphi} = R^{\theta}_{\theta \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \varphi} = 0

R_{\varphi \theta} = R^{a}_{\varphi a \theta} = R^{\theta}_{\varphi \theta \theta} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \theta} = 0

R_{\varphi \varphi} = R^{a}_{\varphi a \varphi} = R^{\theta}_{\varphi \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = \sin^2 \theta.

Finalmente, calculamos la curvatura escalar:

g^{cb}R_{ab} = R^c_a,

R^a_a = g^{\theta \theta}R_{\theta \theta} + g^{\theta \varphi}R_{\theta \varphi} + g^{\varphi \theta}R_{\varphi \theta} + g^{\varphi \varphi}R_{\varphi \varphi} = \frac{1}{r^2}1+\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \sin^2 = \frac{2}{r^2},

que es, tal y como esperabamos, la mitad de la curvatura de Gauss (R = 2K).

Seguimos ahora con la pseudoesfera \mathbb{H}^2(-\frac{1}{r^2}). Los símbolos de Christoffel eran:

\Gamma^{\theta}_{\theta \theta} = -\csc \theta \sec \theta, \Gamma^{\theta}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\theta}_{\varphi \theta} = 0, \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = -\sin^2 \theta \tan \theta,

\Gamma^{\varphi}_{\theta \theta} = 0, \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \cot \theta, \Gamma^{\varphi}_{\varphi \varphi} = 0

(Aprovechamos otra vez, conocidos los símbolos de Christoffel, para escribir las ecuaciones de las geodésicas:

\begin{cases} \ddot{\theta} - \dot{\theta}^2 \csc \theta \sec \theta - \dot{\varphi}^2 \sin^2 \theta \tan \theta = 0 \\ \ddot{\varphi} + 2 \dot{\theta} \dot{\varphi} \cot \theta = 0 \end{cases}

que debería coincidir con la de aquí).

Como es bastante laborioso, aquí otro programita, esta vez para el tensor de Riemann:

tensorRiemann

y los resultados:

tensorRiemannPseudoesfera

por tanto, Ricci es:

R_{\theta \theta} = R^{a}_{\theta a \theta} = R^{\theta}_{\theta \theta \theta} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \theta} = - \cot^2 \theta

R_{\theta \varphi} = R^{a}_{\theta a \varphi} = R^{\theta}_{\theta \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\theta \varphi \varphi} = 0

R_{\varphi \theta} = R^{a}_{\varphi a \theta} = R^{\theta}_{\varphi \theta \theta} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \theta} = 0

R_{\varphi \varphi} = R^{a}_{\varphi a \varphi} = R^{\theta}_{\varphi \theta \varphi} + R^{\varphi}_{\varphi \varphi \varphi} = -\sin^2 \theta.

y la curvatura escalar:

R=R^a_a = g^{\theta \theta}R_{\theta \theta} + g^{\theta \varphi}R_{\theta \varphi} + g^{\varphi \theta}R_{\varphi \theta} + g^{\varphi \varphi}R_{\varphi \varphi} =

= \frac{1}{r^2 \cot^2 \theta}(-\cot^2 \theta)+\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} (-\sin^2) = -\frac{2}{r^2},

que vuelve a ser R = 2K. Aquí es resultado con dos nuevas funciones programadas para el tensor de Ricci y la curvatura escalar:

RiemannRicciRH2

Por último, para \mathbb{R}^2 todo es 0.

Finalmente una gráfica de todas las curvaturas escalares que hemos encontrado:

curvaturaEscalar2D

Los colores son los mismos que los de las superficie correspondiente de este post y añadiendo en rojo la curvatura escalar del toro. Recordar que, en superficies, la curvatura escalar es el doble de la curvatura Gauss o curvatura intrínseca y esta, a su vez, es el producto de las dos curvaturas principales.

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