Calculamos la curvatura escalar R para la métrica de Kerr-Newman, es decir, para la solución analítica a las ecuaciones de Einstein en presencia de momento y de carga (J \neq 0 y Q \neq 0).

La métrica es:

g = -\frac{J^2+M^2 \left(Q^2+r (-2 M+r)\right)+J^2 \text{Sin}[\theta ]^2}{M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta ]^2} dt \otimes dt +

+ 2 \frac{J M \left(Q^2-2 M r\right) \text{Sin}[\theta ]^2}{M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta ]^2} dt \tilde{\otimes} d\varphi +

+ \frac{M^2 r^2+J^2 \text{Cos}[\theta ]^2}{J^2+M^2 \left(Q^2+r (-2 M+r)\right)} dr \otimes dr +

r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta ]^2}{M^2} d\theta \otimes d\theta +

+ \frac{\left(\frac{J^2}{M^2}+r^2\right)^2 \text{Sin}[\theta ]^2}{r^2+\frac{J^2 \text{Cos}[\theta ]^2}{M^2}}+\frac{J^2 \text{Sin}[\theta ]^4}{M^2} d\varphi \otimes d\varphi.

Como ya hemos hecho con la métrica de Kerr, solo mostramos una componente de cada elemento calculado debido a su extrema complejidad (como para realizar los cálculos manualmente…):

R^{r}_{\theta \varphi t}:

tRiemann_kn_rthvpt

R_{r \theta}:

tRicci_kn_rth

Utilizando nuestras funciones, obtenemos los siguientes gráficos:

M=0.9, J=0.1, Q=0.5:

R_M09_J01_Q05

M=0.9, J=0.1, Q=0.25:

R_M09_J01_Q025

M=1, J=1, Q=1:

R_M1_Q1_J1

M=0.1, J=0.9, Q=0.5:

R_M01_J09_Q05

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